Question

4．一質(zhì)點沿x軸運動，坐標與時間的變化關系為x=4t-2t³，式中x以m計，t以s計．求
（1）在最初2s內(nèi)的平均速度，2s末的瞬時速度；
（2）1s末到3s末的位移、平均速度；
（3）1s末到3s末的平均加速度；
（4）3s末的瞬時加速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)位移的表達式得出最初2s內(nèi)的位移，結合平均速度的定義式求出最初2s內(nèi)的平均速度．根據(jù)導數(shù)求出瞬時速度的表達式，結合表達式求出2s末的瞬時速度．
（2）根據(jù)位移的表達式得出1s末和3s末的位移，結合平均速度的定義式求出平均速度的大�。�
（3）根據(jù)瞬時速度的表達式得出瞬時速度的大小，結合加速度的定義式求出平均加速度．
（4）根據(jù)導數(shù)求出瞬時加速度的表達式，從而得出3s末的瞬時加速度．

解答 解：（1）最初2s內(nèi)的位移x=（4×2-2×2³）-0m=0m，則最初2s內(nèi)的平均速度為0．
位移的導數(shù)表示速度，則v=x′=4-6t²，
2s末的速度v₂=4-6×4m/s=-20m/s．
（2）質(zhì)點在1s末到3s末的位移${x}_{1}=（4×3-2×{3}^{3}）-（4×1-2×1）$m=-44m，
則平均速度$\overline{v}=\frac{{x}_{1}}{{t}_{1}}=\frac{-44}{2}m/s=-22m/s$．
（3）根據(jù)v=4-6t²得，1s末的速度v₁=4-6m/s=-2m/s，
3s末的速度v₃=4-6×9m/s=-50m/s，
則平均加速度$\overline{a}=\frac{{v}_{3}-{v}_{1}}{t}=\frac{-50-（-2）}{2}m/{s}^{2}$=-24m/s²．
（4）速度的導數(shù)表示加速度，則a=v′=-12t，
則3s末的瞬時加速度a=-12×3m/s²=-36m/s²．
答：（1）在最初2s內(nèi)的平均速度為0，2s末的瞬時速度為-20m/s；
（2）1s末到3s末的位移為-44m、平均速度為-22m/s；
（3）1s末到3s末的平均加速度為-24m/s²；
（4）3s末的瞬時加速度為-36m/s²．

點評 解決本題的關鍵掌握平均速度和加速度的定義式，知道位移的導數(shù)表示瞬時速度，瞬時速度的導數(shù)表示瞬時加速度．