Question

已知地球半徑R=6400km，地球表面的重力加速度g=10m/s²，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響．求：
（1）推導(dǎo)第一宇宙速度v₁的表達(dá)式，并計(jì)算其數(shù)值；
（2）若地球自轉(zhuǎn)周期T=24h，計(jì)算地球同步衛(wèi)星距離地面的高度h；
（3）若已知萬有引力常量G=6.7×10^-11N?m²/kg²，估算地球的平均密度ρ．（以上計(jì)算結(jié)果保留一位有效數(shù)字）

Answer 1

分析：主要應(yīng)用在地球表面重力和萬有引力相等，衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)時(shí)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，據(jù)此列式求解即可．

解答：解：（1）當(dāng)衛(wèi)星在地球表面附近運(yùn)動(dòng)行時(shí)，受地球的萬有引力提供向心力，即
G

mM

R2

=m

v2

R

得：衛(wèi)星運(yùn)行速度v=

GM R

      ①
又因?yàn)樵诓豢紤]地球的自轉(zhuǎn)，地球表面的重力和萬有引力相等，故有mg=G

mM

R2

，所以有
GM=gR²       ②
將②代入①可得：
v1=

gR

=

10×6400×103

m/s=8×10³m/s
（2）同步衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)地周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即T=24h=24×3600s，同步衛(wèi)星受到地球的萬有引力提供向心力，故有：
G

mM

(R+h)2

=m(R+h)(

2π

T

)2
可得R+h=

3	GMT2 4π2

即：
h=

3	GMT2 4π2

-R              ③
將②代入③得：h=

3	gR2T2 4π2

-R=

3	10×(6400×103)2×(24×3600)2 4×3.142

-6400×10³m≈4×10⁷m
（3）由②式得M=

gR2

G

     ④
由幾何知識(shí)知，地球的體積V=

4

3

πR3         ⑤
所以地球的密度ρ=

M

V

=

gR2 G

4 3 πR3

=

3g

4πRG

=

3×10

4×3.14×6400×103×6.7×10-11

kg/m³≈6×10³Kg/m³．
答：（1）第一宇宙速度表達(dá)式v1=

GM R

，數(shù)值為8×10³m/s；
（2）同步衛(wèi)星距地面的高度h=4×10⁷m；
（3）地球的平均密度ρ=6×10³Kg/m³．

點(diǎn)評(píng)：能正確利用萬有引力和重力向心力的關(guān)系，并能抓住表達(dá)式中的變量和不變量進(jìn)行討論和計(jì)算．