Question

（12分）如圖所示，質量為m、電荷量為e的電子從坐標原點O處沿xOy平面射入第一象限內，射入時的速度方向不同，但大小均為v₀．現(xiàn)在某一區(qū)域內加一方向向外且垂直于xOy平面的勻強磁場，磁感應強度大小為B，若這些電子穿過磁場后都能垂直地射到與y軸平行的熒光屏MN上，求：

(1)電子從 y軸穿過的范圍；

(2)熒光屏上光斑的長度；

(3)所加磁場范圍的最小面積。

Answer 1

（1）設粒子在磁場中運動的半徑為R ，由牛頓第二定律得：

ev₀B＝m         即R＝       

電子從 y軸穿過的范圍OM =2R＝2   

(2)如圖所示， 初速度沿x軸正方向的電子沿弧OA運動到熒光屏MN上的P點；                     

初速度沿y軸正方向的電子沿弧OC運動到熒光屏MN上的Q點   

由幾何知識可得： PQ＝R＝     

(3)取與x軸正方向成θ角的方向射入的電子為研究對象，其射出磁場的點為E(x，y)，因其射出后能垂直打到屏MN上，故有：

x＝－Rsin θ

y＝R＋Rcos θ

即  x²＋(y－R)²＝R²

又因為電子沿x軸正方向射入時，射出的邊界點為A點；沿y軸正方向射入時，射出的邊界點為C點，故所加最小面積的磁場的邊界是以(0，R)為圓心、R為半徑的圓的一部分，如圖乙中實線圓弧所圍區(qū)域，所以磁場范圍的最小面積為：

S＝πR²＋R²－πR²＝(＋1)()²