Question

6．如圖所示，在xOy坐標(biāo)系中，第一象限內(nèi)有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E，在第四象限有一半徑為R的半圓形的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于xOy平面向里，半圓的直徑OA在x軸上，一質(zhì)量為m，電量為q的帶正電的粒子在過(guò)半圓的圓心O′且平行于y軸的直線MN上，帶電粒子由靜止釋放后，在電場(chǎng)力作用下加速進(jìn)入磁場(chǎng)，最終平行于x軸出磁場(chǎng)，不計(jì)粒子的重力，求：
（1）粒子剛開(kāi)始釋放時(shí)的坐標(biāo)（x₁，y₁）
（2）要使粒子剛好從A點(diǎn)飛出磁場(chǎng)，則從釋放到A點(diǎn)所需要的時(shí)間為多少？
（3）若將該粒子放在y軸上（O，y₁）點(diǎn)，并以一初速度沿x軸正向飛進(jìn)電場(chǎng)，經(jīng)過(guò)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)再經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)剛好到達(dá)A點(diǎn)，則初速度v₀多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子在電場(chǎng)中加速的末速度表達(dá)式，結(jié)合半徑公式和幾何關(guān)系求出y₁的大小，從而得出粒子剛開(kāi)始釋放時(shí)的坐標(biāo)．
（2）要使粒子能從A點(diǎn)飛出磁場(chǎng)，到粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R₂該滿足的條件R=n•2R₂，n=1，2，3．結(jié)合半徑公式、周期公式以及動(dòng)能定理求出從釋放到A點(diǎn)所需要的時(shí)間．
（3）作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出粒子飛出磁場(chǎng)的時(shí)間，求出粒子在電場(chǎng)中的水平位移和粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，通過(guò)幾何關(guān)系求出初速度的大�。�

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中加速，$qE{y}_{1}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，圓心在x軸上，$q{v}_{1}B=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$，
由幾何關(guān)系得，$\sqrt{2}{R}_{1}=R$，
解得${y}_{1}=\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4mE}$，
因此粒子剛開(kāi)始釋放時(shí)的位置坐標(biāo)為$（R，\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4mE}）$．
（2）要使粒子能從A點(diǎn)飛出磁場(chǎng)，到粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R₂該滿足的條件R=n•2R₂，n=1，2，3．
粒子在電場(chǎng)中加速$qE{y}_{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$，
粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，圓心在x軸上，$q{v}_{2}B=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{R}_{2}}$，
粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{1}=（2n-1）\sqrt{\frac{2{y}_{2}m}{qE}}$，
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{2}=n\frac{πm}{qB}$，
因此運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t=t₁+t₂=$（2n-1）\sqrt{\frac{2{y}_{2}m}{qE}}+n\frac{πm}{qB}$=$\frac{2n-1}{2n}\frac{BR}{E}+n\frac{πm}{qB}$，n=1，2，3．
（3）粒子從飛出到達(dá)磁場(chǎng)所用的時(shí)間
$t′=\sqrt{\frac{2{y}_{1}m}{qE}}=\frac{BR}{\sqrt{2}E}$，
在電場(chǎng)中的水平位移$x={v}_{0}t′=\frac{BR{v}_{0}}{\sqrt{2}E}$，
設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度為v，則粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=$\frac{mv}{qB}$，
根據(jù)幾何關(guān)系$\frac{{v}_{1}}{v}=\frac{2R-x}{2r}$
解得${v}_{0}=\frac{2（\sqrt{2}-1）E}{B}$．
答：（1）粒子剛開(kāi)始釋放時(shí)的坐標(biāo)（x₁，y₁）為$（R，\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4mE}）$．
（2）要使粒子剛好從A點(diǎn)飛出磁場(chǎng)，則從釋放到A點(diǎn)所需要的時(shí)間為$\frac{2n-1}{2n}\frac{BR}{E}+n\frac{πm}{qB}$，n=1，2，3
（3）初速度v₀為$\frac{2（\sqrt{2}-1）E}{B}$．

點(diǎn)評(píng) 粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)偏轉(zhuǎn)和加速時(shí)，常用能量的觀點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題，有時(shí)也要運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解．粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑及運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定也是本題的一個(gè)考查重點(diǎn)，要正確畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，能熟練的運(yùn)用幾何知識(shí)解決物理問(wèn)題．