Question

14．探月工程三期飛行試驗(yàn)器于2014年10月24日2時(shí)在中國(guó)西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，最終進(jìn)入距月球表面高為h的圓形工作軌道，設(shè)月球半徑為R，月球表面的重力速度為g，萬(wàn)有引力常量為G，則下列說(shuō)法正確的是（　　）

• A． 飛行試驗(yàn)器在工作軌道上的加速度為（$\frac{R}{R+h}$）²g
• B． 飛行試驗(yàn)器繞月球運(yùn)行的周期為2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$
• C． 飛行試驗(yàn)器在工作軌道上的繞行速度為$\sqrt{g（R+h）}$
• D． 月球的平均密度為$\frac{3g}{4πGR}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力與星球表面重力相等列出等式，根據(jù)牛頓第二定律得出飛行試驗(yàn)器在工作軌道上的加速度；
飛行器繞月運(yùn)行時(shí)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力列出等式求解；
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，推導(dǎo)出線(xiàn)速度求解；
根據(jù)密度定義求解．

解答 解：A、根據(jù)萬(wàn)有引力與星球表面重力相等得
mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$ 
根據(jù)牛頓第二定律得
飛行試驗(yàn)器在工作軌道上的加速度a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$=（$\frac{R}{R+h}$）²g，故A正確；
B、飛行器繞月運(yùn)行時(shí)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r，可得T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$=2π$\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{{gR}^{2}}}$，故B錯(cuò)誤；
C、飛行器工作軌道上的繞行速度滿(mǎn)足$\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R+h}$
即v=$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$=$\sqrt{\frac{{gR}^{2}}{R+h}}$，故C錯(cuò)誤；
D、月球的密度 ρ=$\frac{M}{\frac{4{πR}^{3}}{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$，故D正確．
故選：AD．

點(diǎn)評(píng) 萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力和萬(wàn)有引力與星球表面重力相等是解決此類(lèi)問(wèn)題的主要入手點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握相關(guān)公式及公式變換．