Question

3．如圖所示，在半徑為R的半圓區(qū)域內存在著垂直紙面的勻強磁場（圖中未畫），磁感應強度為B，AD為半圓的直徑，O為圓心．質量為m帶電量為q的某種粒子由靜止經電場加速后從O點垂直AD及磁場射入磁場中．（粒子重力不計）
（1）第一次粒子從D點射出磁場，求加速電壓U及粒子在磁場中運動的時間
（2）改變加速電壓，結果粒子從圖中C點射出磁場，∠COD=60°，求粒子的速度．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子垂直射入磁場中做勻速圓周運動，由幾何關系得出粒子運動的半徑，由牛頓第二定律確定粒子的速度，再由動能定理求出加速電壓；根據時間與周期的關系求解運動的時間．
（2）畫出粒子運動的軌跡，由幾何知識求解軌跡半徑，即可求得粒子的速度．

解答 解：（1）帶電粒子垂直射入磁場中做勻速圓周運動，從D點射出磁場時，其軌跡半徑為 r=$\frac{R}{2}$
根據洛倫茲力提供向心力，得 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
聯立解得 v=$\frac{qBR}{2m}$
在加速電場中，由動能定理得：qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
可得 U=$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{8m}$
在磁場中運動時間為 t=$\frac{T}{2}$=$\frac{πm}{qB}$
（2）畫出粒子運動的軌跡，由幾何知識知其軌跡半徑為 r′=R
由r′=$\frac{mv′}{qB}$得 v′=$\frac{qBR}{m}$
答：
（1）加速電壓U為$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{8m}$，粒子在磁場中運動的時間為$\frac{πm}{qB}$．
（2）粒子的速度為$\frac{qBR}{m}$．

點評 本題關鍵要掌握推論：粒子速度的偏向角等于軌跡的圓心角，畫出粒子運動的軌跡，掌握粒子半徑以及周期公式．