Question

11．如圖所示，足夠長的斜面傾角α=37°，一質(zhì)量為M、長L=1m的長木板A，如果在斜面上將其由靜止釋放，木板將勻加速下滑，加速度大小a=2m/s²．可視為質(zhì)點的物塊B的質(zhì)量m=$\frac{M}{2}$，B、A之間以及A與斜面之間的動摩擦因數(shù)相同且都為μ，重力加速度取g=10m/s²．如果將木板置于斜面上足夠高處并按住，將物塊B置于木板上端并施加沿斜面向下的恒力F₁=0.2mg，A、B同時釋放，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求物塊B滑離長木板所需的時間；
（2）如果將物塊B置于木板下端并施加沿斜面向上的恒力F₂=1.2mg，A、B同時釋放，則B滑離木板用時為多少？

Answer 1

分析 （1）對沒有加外力時的整體進行受力分析，結(jié)合牛頓第二定律即可求出動摩擦因數(shù)；分別對B和A進行受力分析，由牛頓第二定律求出它們的加速度的大小和方向，然后由運動學的公式即可求出；
（2）如果將物塊B置于木板下端并施加沿斜面向上的恒力F₂=1.2mg，分別對B和A進行受力分析，由牛頓第二定律求出它們的加速度的大小和方向，然后由運動學的公式即可求出．

解答 解：（1）整體放在斜面上時，受到重力、支持力和摩擦力的作用，沿斜面方向：
（M+m）a=（M+m）gsinα-μ（M+m）gcosα
代入數(shù)據(jù)得：μ=0.5
對B施加沿斜面向下的恒力F₁=0.2mg時，以B為研究對象，沿斜面向下：
ma₁=F₁+mgsinα-μmgcosα
代入數(shù)據(jù)得：${a}_{1}=4m/{s}^{2}$
B相對于A向上運動，所以A受到重力、斜面的支持力、B對A的壓力、斜面對A向上的摩擦力以及B對A向下的摩擦力，所以沿斜面向下的方向：
Ma₂=Mgsinα+μmgcosα-μ（M+m）gcosα
代入數(shù)據(jù)得：a₂=2m/s²．
二者都向下做初速度為0的勻加速直線運動，所以：$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}=L$
代入數(shù)據(jù)得：t=1 s
（2）如果將物塊B置于木板下端并施加沿斜面向上的恒力F₂=1.2mg，以B為研究對象，沿斜面向上：
ma₃=F₂-mgsinα-μmgcosα
代入數(shù)據(jù)得：a₃=2m/s²．
B相對于A向下運動，所以A受到重力、斜面的支持力、B對A的壓力、斜面對A向上的摩擦力以及B對A向上的摩擦力，所以沿斜面向下的方向：
由于：Mgsinα＜μmgcosα+μ（M+m）gcosα，所以A不能向下滑動．
若斜面對A的摩擦力的方向向下，則：μmgcosα＜Mgsinα+μ（M+m）gcosα，可知A也不能向上滑動；所以A只有靜止在斜面上．
B相對于A向上做勻加速直線運動，由公式得：
L=$\frac{1}{2}{a}_{3}t{′}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：t′=1s
答：（1）物塊B滑離長木板所需的時間是1s；
（2）如果將物塊B置于木板下端并施加沿斜面向上的恒力F₂=1.2mg，A、B同時釋放，則B滑離木板用時為1s．

點評 本題主要考查了勻加速直線運動速度位移公式及牛頓第二定律的應用，解答的難點是第二問，正確判斷出B保持靜止是解答的關鍵．