Question

（18分）如圖所示，在水平光滑絕緣的桌面上，有三個(gè)帶正電的質(zhì)點(diǎn)1、2、3，位于邊長(zhǎng)為的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)處。為三角形的中心，三個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量皆為，帶電量皆為。質(zhì)點(diǎn) 1、3之間和2、3之間用絕緣的輕而細(xì)的剛性桿相連，在3的連接處為無(wú)摩擦的鉸鏈。已知開始時(shí)三個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度為零，在此后運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)到C處時(shí)，其速度大小為多少？

Answer 1

解析：

以三個(gè)質(zhì)點(diǎn)為系統(tǒng)，由對(duì)稱性可知，開始時(shí)其質(zhì)心應(yīng)位于處，因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)系所受的合外力為零，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可知，質(zhì)心總是固定不動(dòng)的。質(zhì)點(diǎn)1、2在靜電力作用下，彼此間距離必增大，但不可能保持在沿起始狀態(tài)時(shí)1、2連線上運(yùn)動(dòng)，若是那樣運(yùn)動(dòng)，由于桿不能伸長(zhǎng)，質(zhì)點(diǎn)3必向左運(yùn)動(dòng)，三者的質(zhì)心勢(shì)必亦向左運(yùn)動(dòng)，這與“質(zhì)心不動(dòng)”相矛盾，故不可能。由此可知，由于桿為剛性，質(zhì)點(diǎn)1、2在靜電力作用下，要保持質(zhì)心不動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)1、2必將分別向題圖中右上方和右下方運(yùn)動(dòng)，而質(zhì)點(diǎn)3將向左運(yùn)動(dòng)．當(dāng)3運(yùn)動(dòng)到處時(shí)，1、2將運(yùn)動(dòng)到、處，、、三點(diǎn)在一直線上，1、2的速度方向向右，3的速度方向左（如圖所示）。令、、分別表示此時(shí)它們的速度大小，則由對(duì)稱性可知此時(shí)三質(zhì)點(diǎn)的總動(dòng)能為

                               （1）

再由對(duì)稱性及動(dòng)量守恒可知

                                          （2）

系統(tǒng)原來(lái)的電勢(shì)能為

                                          （3）

其中為靜電力常數(shù)．運(yùn)動(dòng)到圖所示的位置時(shí)的電勢(shì)能為

                                    （4）

根據(jù)能量守恒有

                                       （5）

由以上各式可解得

                                          （6）