Question

9．一質(zhì)量為M，半徑為R的均勻圓環(huán)，對(duì)其軸線上距圓心x處的質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)的萬有引力多大？

Answer 1

分析 將圓環(huán)看作是由無窮多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m₀，然后求出質(zhì)量元對(duì)m的萬有引力，分解求和可得結(jié)果．

解答 解：將圓環(huán)看作是由無窮多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m₀，對(duì)m的萬有引力為：
F₀=$\frac{G{m}_{0}m}{{R}^{2}+{x}^{2}}$，
由于對(duì)稱，圓環(huán)對(duì)m的萬有引力沿圓環(huán)架線指向圓心，則F₀在此方向上的分量為：
F_x=${F}_{0}•\frac{x}{\sqrt{{R}^{2}+{x}^{2}}}$，
所有質(zhì)點(diǎn)對(duì)m的萬有引力為：
$F=∑{F}_{x}=\frac{Gmx}{（\sqrt{{R}^{2}+{x}^{2}}）^{3}}∑{m}_{0}=\frac{GMmx}{（\sqrt{{R}^{2}+{x}^{2}}）^{3}}$．

答：對(duì)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為$\frac{GMmx}{{（\sqrt{{R}^{2}+{x}^{2}}）}^{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 該題是簡(jiǎn)單的微元法的應(yīng)用，注意選取一個(gè)質(zhì)量元，要對(duì)其萬有引力分解，然后求和即可．