Question

某儀器用電場(chǎng)和磁場(chǎng)來控制電子在材料表面上方的運(yùn)動(dòng)．如圖所示，材料表面上方矩形區(qū)域PP'N'N充滿豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，寬為d；矩形區(qū)域NN′M′M充滿垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，長(zhǎng)為3s，寬為s；NN'為磁場(chǎng)與電場(chǎng)之間的薄隔離層．一個(gè)電荷量為e、質(zhì)量為m、初速為零的電子，從P點(diǎn)開始被電場(chǎng)加速經(jīng)隔離層垂直進(jìn)入磁場(chǎng)，電子每次穿越隔離層，運(yùn)動(dòng)方向不變，其動(dòng)能損失是每次穿越前動(dòng)能的10%，最后電子僅能從磁場(chǎng)邊界M'N'飛出．不計(jì)電子所受重力．
（1）求電子第二次與第一次圓周運(yùn)動(dòng)半徑之比；
（2）求電場(chǎng)強(qiáng)度的取值范圍；
（3）A是M′N′的中點(diǎn)，若要使電子在A、M′間垂直于AM′飛出，求電子在磁場(chǎng)區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）電子會(huì)在兩個(gè)區(qū)域內(nèi)來回穿梭運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)區(qū)域內(nèi)做直線運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)半徑越來越小．應(yīng)用能量關(guān)系和在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑可知運(yùn)動(dòng)軌跡半徑之比．
（2）電子不能從MM^′邊射出，從而確定了最大半徑不能超過S，電子僅能從磁場(chǎng)邊界M'N'飛出，電子所做的軌跡半徑之和不小于3S，從這兩個(gè)方面即可求出電場(chǎng)強(qiáng)度的范圍．
（3）最終電子離開磁場(chǎng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)半徑應(yīng)大于

S

2

，從而判斷出能完成幾個(gè)的半圓，最終時(shí)間是運(yùn)動(dòng)這幾個(gè)半圓的時(shí)間再加上運(yùn)動(dòng)

1

4

圓周的時(shí)間．

解答：解：
（1）設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為R₁、R₂、…R_n、R_n+1…，第一和第二次圓周運(yùn)動(dòng)速率分別為v₁和v₂，
動(dòng)能分別為E_k1和E_k2
由：E_k2=0.81E_k1
R₁=

mv1

Be

，R₂=

mv2

Be

E_k1=

1

2

mv₁²，E_k2=

1

2

mv₂²
得：R₂：R₁=0.9：1
（2）設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度為E，第一次到達(dá)隔離層前的速率為v′，根據(jù)能量關(guān)系有：
eEd=

1

2

mv′2
0.9×

1

2

mv′2=

1

2

m

v

2 1

R₁≤s
得：E≤

5B2es2

9md

又由：R_n=0.9^n-1R₁
2R₁（1+0.9+0.9²+…+0.9ⁿ+…）=3s
得：E＞

B2es2

80md

電場(chǎng)強(qiáng)度的取值范圍為

B2es2

80md

＜E≤

5B2es2

9md

（3）設(shè)電子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，圓周運(yùn)動(dòng)的周期為，運(yùn)動(dòng)的半圓周個(gè)數(shù)為n，運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為t
由題意，有：

2R1(1-0.9n)

1-0.9

+Rn+1=3s
R₁≤s
R_n+1=0.9ⁿR₁
R_n+1≥

s

2

得：n=2
由題意知，電子在磁場(chǎng)中做了2個(gè)半圓和一個(gè)

1

4

圓，
由：T=

2πm

eB

得：t=2×

1

2

T+

1

4

T=

5πm

2eB

答：（1）電子第二次與第一次圓周運(yùn)動(dòng)半徑之比是0.9：1．
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度的取值范圍是

B2es2

80md

＜E≤

5B2es2

9md

（3）電子在磁場(chǎng)區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是

5πm

2eB

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)帶電粒子在電磁場(chǎng)中做多過程運(yùn)動(dòng)、周期性運(yùn)動(dòng)、具有對(duì)稱性的運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于多種因素的影響，使問題形成多解．形成多解的原因一般包含以下幾個(gè)方面：
（1）帶電粒子電性不能確定形成多解．受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電荷，也可能帶負(fù)電荷，在相同的初速度下，正負(fù)離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡不同，導(dǎo)致形成雙解．
（2）臨界狀態(tài)不唯一形成多解．帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場(chǎng)時(shí)，由于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧狀，因此，它可能穿過去，也可能轉(zhuǎn)過108⁰從入射界面這邊反向飛出．
（3）運(yùn)動(dòng)的重復(fù)性形成多解．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于某些因素的變化，例如磁場(chǎng)的強(qiáng)弱或方向做周期性變化或者速度方向突然反向等，運(yùn)動(dòng)具有重復(fù)性，因而形成多解．