Question

5．萬有引力定律揭示了天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律與地上物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律具有內(nèi)在的一致性．用彈簧秤稱量一個(gè)相對于地球靜止的小物體的重量，從而獲得地球不同位置處的重力加速度，隨稱量位置的變化可能會(huì)有不同的結(jié)果．已知地球自轉(zhuǎn)周期為T，萬有引力常量為G．將地球視為半徑為R、質(zhì)量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響．設(shè)在地球北極地面稱量時(shí)，獲得重力加速度為g₀．
（1）由以上已知物理量可求得地球密度是多少？
（2）若在北極地面和赤道地面分別以相同初速度，相同高度平拋一物體，求物體在北極地面和赤道地面做平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移比為多少？
（3）若已知月球中心到地球中心的距離約為60R，繞行軌道視為圓軌道，現(xiàn)有另一繞地球做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星周期為T₁，求此橢圓軌道的半長軸a為多少？

Answer 1

分析 （1）抓住在兩極處萬有引力等于重力，求出地球的質(zhì)量，結(jié)合地球的體積求出地球的密度．
（2）在兩極萬有引力等于重力，在赤道，萬有引力的一個(gè)分力等于重力，另一個(gè)分力提供向心力，求出在赤道和兩極的重力加速度之比，從而結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出物體在北極地面和赤道地面做平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移比．
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合軌道半徑大小求出軌道半徑的三次方和周期的二次方的比值，結(jié)合開普勒第三定律求出橢圓軌道的半長軸．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力等于重力得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$，
M=$\frac{4}{3}π{R}^{3}ρ$，
解得：ρ=$\frac{3{g}_{0}}{4GπR}$．
（2）在赤道：$m{g}_{0}-m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R=m{g}_{1}$，
所以${g}_{1}={g}_{0}-\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$，
由平拋得：x=v₀t，y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
解得：$x={v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
則$\frac{{x}_{0}}{{x}_{1}}=\sqrt{\frac{{g}_{1}}{{g}_{0}}}$=$\sqrt{1-\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}{g}_{0}}}$．
（3）由月球繞地球可得：$\frac{GMm}{（60R）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}•60R$，
所以$\frac{（60R）^{3}}{{T}^{2}}=\frac{GM}{4{π}^{2}}=\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{4{π}^{2}}=K$，
K=$\frac{{a}^{3}}{{{T}_{1}}^{2}}$，
解得：a=$\root{3}{\frac{{g}_{0}{R}^{2}{{T}_{1}}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
答：（1）由以上已知物理量可求得地球密度是$\frac{3{g}_{0}}{4GπR}$；
（2）物體在北極地面和赤道地面做平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移比為$\sqrt{1-\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}{g}_{0}}}$；
（3）此橢圓軌道的半長軸a為$\root{3}{\frac{{g}_{0}{R}^{2}{{T}_{1}}^{2}}{4{π}^{2}}}$．

點(diǎn)評 本題考查了萬有引力定律和平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律的綜合運(yùn)用，知道兩級和赤道處的重力加速度不同，求出重力加速度之比是解決本題的關(guān)鍵，掌握萬有引力等于重力以及開普勒第三定律的靈活運(yùn)用．