Question

5．如圖所示，豎直面內(nèi)ABCD為一邊長為d、質(zhì)量為m、具有一定阻值的正方形剛性導(dǎo)線框，圖中虛線是垂直于豎直面磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場的正方形邊界，寬度為3d，其上邊界與導(dǎo)線框的AB邊平行，導(dǎo)線框從距離磁場上邊界2d的位置自由豎直下落（不計空氣阻力）．已知AB邊剛進(jìn)入磁場時，線框便以某一速度勻速運動．
（1）求導(dǎo)線框通過磁場上邊界時產(chǎn)生感應(yīng)電流I₀的大小．
（2）試比較CD邊離開磁場下邊界時，線框中的感應(yīng)電流與I₀的大小關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）AB邊進(jìn)入磁場時勻速運動，由平衡條件和安培力公式列式，求解感應(yīng)電流I₀的大�。�
（2）線框勻速進(jìn)入磁場的過程中，設(shè)重力做功為W_G、安培力做功為W₁．則 W_G-W₁=0，即mgd=W₁；由E=BLv知，若要線框離開磁場瞬間電流也等于I₀，線框剛離開磁場時速度大小等于進(jìn)入磁場的速度大小，則從線框完全進(jìn)入磁場到線框完全離開磁場過程中重力與安培力做功之和為0，列出方程．對于線框剛到磁場上邊界時，由能量守恒列式，求出此時的速度，得到安培力．對于線框剛到磁場下邊界時，列出同樣的方程，得到安培力．比較兩個安培力的大小，分析速度大小，即可比較電流的大�。�

解答 解：（1）AB邊進(jìn)入磁場時勻速運動，所以有 mg=F_安；
即 mg=BI₀d
故得 I₀=$\frac{mg}{Bd}$
（2）線框勻速進(jìn)入磁場的過程中，設(shè)重力做功為W_G、安培力做功為W₁．
則 W_G-W₁=0，即mgd=W₁；
根據(jù)E=BLv可知，若要線框離開磁場瞬間電流也等于I₀，則線框剛離開磁場時速度大小等于進(jìn)入磁場的速度大小，則從線框完全進(jìn)入磁場到線框完全離開磁場過程中重力與安培力做功之和為0，即：mg•3d-W₂=0
所以應(yīng)有 W₂=3W₁；
而設(shè)AB邊剛到磁場上邊界時速度為v₀所受的安培力為F₁，AB邊剛到下邊界時速度大小為v₁，所受的安培力大小為F₂．
有：線框剛到磁場上邊界時：mg•2d=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得 v₀=$\sqrt{4gd}$
故 F₁=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{4gd}}{R}$ ①
線框剛到磁場下邊界時：mg•2d=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得：v₁=$\sqrt{8gd}$
故 F₂=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{8gd}}{R}$ ②
由①②可知，F(xiàn)₂＜3F₁，且F₂之后繼續(xù)減小，所以W₂＜3W₁，即W₂＜3mgd
設(shè)線框完全離開磁場時速度為v₂，有：mg•3d-W₂=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
則知 v₂＞v₀，所以$\frac{BL{v}_{2}}{R}$＞$\frac{BL{v}_{0}}{R}$，即I＞I₀．
答：
（1）導(dǎo)線框通過磁場上邊界時產(chǎn)生感應(yīng)電流I₀的大小是$\frac{mg}{Bd}$．
（2）CD邊離開磁場下邊界時，線框中的感應(yīng)電流I與I₀的大小關(guān)系是I＞I₀．

點評 本題是電磁感應(yīng)中的力學(xué)問題，安培力的計算和分析能量如何轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵，要加強(qiáng)訓(xùn)練，熟練掌握法拉第定律、歐姆定律、安培力等等基礎(chǔ)知識，提高解題能力．