Question

14．如圖所示，一輕彈簧原長(zhǎng)為2R，其一端固定在傾角為37⁰的固定直軌道AC的底端A處，另一端位于直軌道上B處，彈簧處于自然狀態(tài)，直軌道與一半徑為$\frac{5}{6}$R的光滑圓弧軌道相切于C點(diǎn)，AC=7R，A、B、C、D均在同一豎直平面內(nèi)．質(zhì)量為m的小物塊P自C點(diǎn)由靜止開始下滑，最低到達(dá)E點(diǎn)（未畫出），隨后P沿軌道被彈回，最高到達(dá)F點(diǎn)，AF=4R，已知P與直軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)?=$\frac{1}{4}$，重力加速度為g，sin37°=0.6，cos37°=0.8．則：
（1）求小物塊從C點(diǎn)到達(dá)E點(diǎn)的過(guò)程中重力勢(shì)能的減少量△E_P；
（2）求E點(diǎn)到B點(diǎn)的距離x以及小物塊P運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能E_P；
（3）改變小物塊P的質(zhì)量，將P推至E點(diǎn)，然后從靜止開始釋放．已知P自圓弧軌道的最高點(diǎn)D處水平飛出后，恰好通過(guò)G點(diǎn)．G點(diǎn)在C點(diǎn)左下方，與C點(diǎn)水平相距$\frac{7}{2}$R、豎直相距R．求P運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)速度的大小v_D和物塊P改變后的質(zhì)量m’．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求得摩擦力做功的位移，進(jìn)而求得CE，然后根據(jù)重力勢(shì)能的表達(dá)式求解；
（2）由（1）根據(jù)幾何關(guān)系得到x，然后對(duì)CE運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理即可求解；
（3）根據(jù)幾何關(guān)系求得平拋運(yùn)動(dòng)的位移，然后由平拋運(yùn)動(dòng)的位移公式求得v_D，在對(duì)E到D過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理即可求得m′．

解答 解：（1）小物塊從C到E再到F的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，彈簧彈力做功為零，故只有重力摩擦力做功，故由動(dòng)能定理可得：mgCFsin37°-μmgcos37°（CE+EF）=0；
所以，0.6（AC-AF）=0.2（CE+EF）=0.2（2CE-CF）=0.2（2CE+AF-AC），所以，CE=2（AC-AF）=6R；
那么，小物塊從C點(diǎn)到達(dá)E點(diǎn)的過(guò)程中重力勢(shì)能的減少量△E_p=mgCEsin37°=3.6mgR；
（2）E點(diǎn)到B點(diǎn)的距離x=EB=AB-AE=AB-（AC-CE）=R；
對(duì)小物塊從C到E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理可得：小物塊P運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能E_p=mgCEsin37°-μmgcos37°CE=2.4mgR；
（3）P自圓弧軌道的最高點(diǎn)D處水平飛出后，做平拋運(yùn)動(dòng)，故由位移公式$\frac{7}{2}R-rsin37°=3R={v}_{D}t$，$R+r+rcos37°=2.5R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$；
所以，${v}_{D}=\frac{3R}{t}=\frac{3R}{\sqrt{\frac{5R}{g}}}$=$\frac{3}{5}\sqrt{5gR}$；
對(duì)P由E到D過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理可得：${E}_{p}-m′g（CEsin37°+r+rcos37°）-μm′gcos37°CE=\frac{1}{2}m′{v}_{D}^{2}$；
所以，2.4mgR-5.1m′gR-1.2m′gR=0.9m′gR，故$m′=\frac{1}{3}m$；
答：（1）小物塊從C點(diǎn)到達(dá)E點(diǎn)的過(guò)程中重力勢(shì)能的減少量△E_P為3.6mgR；
（2）E點(diǎn)到B點(diǎn)的距離x為R，小物塊P運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能E_P為2.4mgR；
（3）改變小物塊P的質(zhì)量，將P推至E點(diǎn)，然后從靜止開始釋放．已知P自圓弧軌道的最高點(diǎn)D處水平飛出后，恰好通過(guò)G點(diǎn)．G點(diǎn)在C點(diǎn)左下方，與C點(diǎn)水平相距$\frac{7}{2}$R、豎直相距R．那么P運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)速度的大小v_D為$\frac{3}{5}\sqrt{5gR}$，物塊P改變后的質(zhì)量m’為$\frac{1}{3}m$．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．