Question

12．如圖所示，長度為l的輕質(zhì)細(xì)繩，一端固定在O點(diǎn)，另一端連結(jié)一質(zhì)量為m的小球，O點(diǎn)距地面的高度為h．開始時(shí)，小球處在自然下垂位置；現(xiàn)給小球一個水平向左的初速度v₀，當(dāng)小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，隨即解除細(xì)線與小球間的連結(jié)，小球做平拋運(yùn)動，小球到達(dá)地面時(shí)的速度方向與水平方向的夾角等于45°，重力加速度為g，求：
（1）小球在地面上的落點(diǎn)P與O點(diǎn)間的水平距離；
（2）小球到達(dá)最高點(diǎn)細(xì)線與小球間的連結(jié)未解除時(shí)，細(xì)線對小球的拉力；
（3）小球的初速度v₀．

Answer 1

分析 （1）解除細(xì)線后小球開始做平拋運(yùn)動，由下落的高度求出時(shí)間和落地時(shí)豎直分速度．由落地時(shí)的速度方向求出小球平拋運(yùn)動的初速度，再求水平距離．
（2）小球在最高點(diǎn)時(shí)，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求出細(xì)線的拉力．
（3）小球由最低點(diǎn)到最高點(diǎn)過程中，由機(jī)械能守恒定律求出小球的初速度v₀．

解答 解：（1）小球平拋過程中，有
   h+l=$\frac{1}{2}$gt²，得  t=$\sqrt{\frac{2（h+l）}{g}}$
  v_y²=2g（h+l），得落地時(shí)豎直分速度 v_y=$\sqrt{2g（h+l）}$ 
據(jù)題有 tan45°=$\frac{{v}_{y}}{v}$     
則得平拋運(yùn)動的初速度 v=v_y=$\sqrt{2g（h+l）}$ 
所以落點(diǎn)P與O點(diǎn)間的水平距離  x=vt          
解得：x=2（h+l）    
（2）在最高點(diǎn)，由牛頓第二定律有
   F+mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$         
解得：F=（1+$\frac{2h}{l}$）mg         
（3）小球由最低點(diǎn)到最高點(diǎn)過程中，取最低點(diǎn)為參考點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律有
   $\frac{1}{2}$mv₀²=mg•2l+$\frac{1}{2}$mv²
解得：v₀=$\sqrt{2g（3l+h）}$                
答：
（1）小球在地面上的落點(diǎn)P與O點(diǎn)間的水平距離是2（h+l）；
（2）小球到達(dá)最高點(diǎn)細(xì)線與小球間的連結(jié)未解除時(shí)，細(xì)線對小球的拉力是（1+$\frac{2h}{l}$）mg；
（3）小球的初速度v₀是$\sqrt{2g（3l+h）}$．

點(diǎn)評 本題要分析清楚小球的運(yùn)動過程，抓住各個過程之間的聯(lián)系，如速度關(guān)系，運(yùn)用分解法研究平拋運(yùn)動．明確圓周運(yùn)動向心力的來源：指向圓心的合力．