Question

19．如圖所示，質(zhì)點(diǎn)A從某一時刻開始在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，出發(fā)點(diǎn)是與圓心O等高的a點(diǎn)，與此同時，位于圓心的質(zhì)點(diǎn)B自由下落．已知圓的半徑為R，求：
（1）質(zhì)點(diǎn)A的角速度滿足什么條件才能使A、B相遇？
（2）質(zhì)點(diǎn)A的角速度滿足什么條件，A、B才能出現(xiàn)速度相同的情況？

Answer 1

分析 ①質(zhì)點(diǎn)B做自由落體運(yùn)動，根據(jù)位移時間關(guān)系公式h=$\frac{1}{2}$gt²求解運(yùn)動到最低點(diǎn)時間；該時間內(nèi)，A點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，轉(zhuǎn)動（n+$\frac{3}{4}$）即可；
②速度是矢量，到b位置時速度有可能與A質(zhì)點(diǎn)速度相同，根據(jù)v=ωr和v=gt列式，其中t為半周期的奇數(shù)倍．

解答 解：①質(zhì)點(diǎn)B做自由落體運(yùn)動，根據(jù)位移時間關(guān)系公式h=$\frac{1}{2}$gt²得到運(yùn)動到最低點(diǎn)時間為：
t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$；
該時間內(nèi)，A點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，轉(zhuǎn)動（n+$\frac{3}{4}$），故加速度為：
ω=$\frac{△θ}{△t}$=$\frac{2π×（n+\frac{3}{4}）}{\sqrt{\frac{2R}{g}}}$=（ $\frac{3}{4}$+n）π $\sqrt{\frac{2g}{R}}$（n=0，1，2，3…）
②速度是矢量，到b位置時速度有可能與A質(zhì)點(diǎn)速度相同，故運(yùn)動時間是半周期的奇數(shù)倍，即：
t=（2n+1）$\frac{T}{2}$=（2n+1）$\frac{π}{ω}$質(zhì)點(diǎn)A的線速度v=ωR
質(zhì)點(diǎn)B的速度v=gt
三式聯(lián)立解得：ω=$\sqrt{\frac{πg(shù)}{R}（2n+1）}$（n=0，1，2，3…）
答：①質(zhì)點(diǎn)A的角速度滿足ω=（ $\frac{3}{4}$+n）π $\sqrt{\frac{2g}{R}}$（n=0，1，2，3…）的條件才能使AB相遇；
②質(zhì)點(diǎn)A的角速度滿足ω=$\sqrt{\frac{πg(shù)}{R}（2n+1）}$（n=0，1，2，3…）的條件，AB才能出現(xiàn)速度相同的情況．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵抓住兩個質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的等時性進(jìn)行分析，不難．