Question

18．如圖所示，在一固定光滑的豎直圓軌道，A、B兩點(diǎn)分別是軌道的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，在其內(nèi)軌道上有一質(zhì)量為m的光滑小球能繞軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，求：
（1）證明：在圓軌道的任一直徑兩端點(diǎn)上小球的動(dòng)能之和為一定值；
（2）小球在A、B兩點(diǎn)對(duì)軌道的壓力差是多少？

Answer 1

分析 （1）小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程機(jī)械能守恒，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律證明．
（2）應(yīng)用機(jī)械能守恒定律求出A、B兩點(diǎn)的速度關(guān)系，應(yīng)用牛頓第二定律求出在A、B兩點(diǎn)軌道對(duì)球的支持力，然后求出其差值，再應(yīng)用牛頓第三定律分析答題．

解答 解：（1）以B點(diǎn)所在的水平面作為零勢(shì)能面，小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有重力做功，機(jī)械能守恒，
在任一直徑兩端點(diǎn)上，小球相對(duì)于零勢(shì)面的高度之和都是2R，即它們的重力勢(shì)能的和相等，
由于小球的機(jī)械能守恒，保持不變，球的重力勢(shì)能之和相等，由機(jī)械能守恒可知，它們的動(dòng)能之和也相等，為一定值；
（2）由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv_B²=$\frac{1}{2}$mv_A²+mg•2R，
由牛頓第二定律得：
在B點(diǎn)：F_B-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
在A點(diǎn)：F_A+mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$，
支持力之差：△F=F_B-F_A，
解得：△F=6mg，
由牛頓第三定律可知，球?qū)�軌道的壓力之差：△F′=6mg；
答：（1）證明過(guò)程如上所述；
（2）小球在A、B兩點(diǎn)對(duì)軌道的壓力差是6mg．

點(diǎn)評(píng) 小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程機(jī)械能守恒，分析清楚小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律與牛頓運(yùn)動(dòng)定律可以解題．