Question

11．如圖所示，在桌面上有一倒立的玻璃圓錐，有一半徑為r=0.2m的圓柱形平行光束垂直入射到圓錐的底面上，光束的中心軸與圓錐的軸重合．圓錐底面與桌面平行，頂點C與桌面的距離為a=0.4$\sqrt{3}$m，過軸線的截面為等邊三角形ABC，邊長l=1.0m，已知玻璃的折射率為n=1.5，光速為c=3.0×10⁸m/s，求：
（1）光束在桌面上形成的光斑半徑R；
（2）光束從進入圓錐的底面AB開始直至到達桌面所需的最長時間t．

Answer 1

分析 （1）當半徑為r的平行光束垂直入射到圓錐的底面上時，沿直線射到AC邊和BC邊．可判斷出光線在AC邊和BC邊上發(fā)生全反射，反射光線卻恰好垂直AC和BC射出．可根據(jù)幾何關系可確定光斑的半半徑R；
（2）由幾何關系求光束通過的最長距離，由v=$\frac{c}{n}$求出光在圓錐體內(nèi)傳播的速度，再由運動學公式求時間．

解答 解：（1）由n=1.5，可知全反射臨界角為：sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{2}{3}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，C＜60°
而光線射到BC邊時的入射角為60°，所以光線在BC邊發(fā)生了全反射，
作出光路圖如圖，邊界光線DE在BC邊發(fā)生全反射，由圖中幾何關系可得，反射光線EF垂直AC邊射出，到達桌面上G處．
根據(jù)幾何知識可知，IE=IC
則 2ICcos30°=$\frac{r}{sin30°}$，得 IC=$\frac{0.4\sqrt{3}}{3}$m
     GH=（IC+a）tan60°
光斑的外半徑為 R₁=GH，內(nèi)半徑 R₂=atan60°
聯(lián)立解得  R₁=1.6m，R₂=1.2m
（2）光束從圓錐的底面AB開始直至到達桌面的最長時間為DE光線所用的時間t．
由幾何關系有 DE=（$\frac{l}{2}$-r）tan60°=0.3$\sqrt{3}$m
由于△EFC≌△ELC，則EF=LC=rtan60°=0.2$\sqrt{3}$m
FG=$\frac{GH}{sin60°}$-EF=$\sqrt{3}$m
光在玻璃中傳播速度 v=$\frac{c}{n}$=2×10⁸m/s
光束通過玻璃所用的時間 t₁=$\frac{DE+EF}{v}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×10^-8s
光束通過空氣所用時間  t₂=$\frac{FG}{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×10^-8s
故總時間 t=t₁+t₂=$\frac{7\sqrt{3}}{12}$×10^-8s
答：
（1）光束在桌面上形成的光斑內(nèi)半徑為1.2m，外半徑為1.6m；
（2）光束從進入圓錐的底面AB開始直至到達桌面所需的最長時間t是$\frac{7\sqrt{3}}{12}$×10^-8s．

點評 本題關鍵之處是借助于光的折射與反射定律作出光路圖，要掌握全反射的條件和臨界角公式，同時能靈活利用幾何關系來輔助計算．