Question

2．若銀河系外X恒星有一行星P圍繞X恒星運行的周期為T₁，它與X恒星中心的距離為月球到地球中心距離的n倍，月球繞地球運行郁周期為T₂，假定行星P繞X恒星運行和月球繞地球運行均做勻速圓周運動，則下列說法正確的是（　�。�

• A． X恒星質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為$\frac{n{{T}_{2}}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$
• B． X恒星質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為$\frac{{n}^{3}{{T}_{2}}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$
• C． 行星P運行速度與月球公轉(zhuǎn)速度之比為$\frac{1}{\sqrt{n}}$
• D． 行星P運行速度與月球公轉(zhuǎn)速度之比為$\frac{n{T}_{2}}{{T}_{1}}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力，求出中心天體質(zhì)量的表達式，結(jié)合環(huán)繞天體軌道半徑之比和周期之比求出中心天體的質(zhì)量之比，結(jié)合軌道半徑之比和周期之比求出公轉(zhuǎn)速度之比．

解答 解：A、根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，因為行星P繞恒星X的周期與月球繞地球的周期之比為$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$，行星P的軌道半徑是月球軌道半徑的n倍，則X恒星的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為$\frac{{n}^{3}{{T}_{2}}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$，故B正確，A錯誤．
C、根據(jù)v=$\frac{2πr}{T}$知，行星P繞恒星X的周期與月球繞地球的周期之比為$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$，行星P的軌道半徑是月球軌道半徑的n倍，則行星P的運行速度與月球公轉(zhuǎn)速度之比為$\frac{n{T}_{2}}{{T}_{1}}$，故D正確，C錯誤．
故選：BD．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，求出中心天體質(zhì)量的表達式是解決本題的突破口，難度不大．