Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E．第Ⅲ、第Ⅳ象限-d≤y≤0內(nèi)存在垂直于坐標(biāo)平面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一質(zhì)量為m、電荷量為-q的帶負(fù)電的粒子從y軸上的M點(diǎn)以速度υ₀垂直于y軸射入電場(chǎng)，經(jīng)x軸上的N點(diǎn)與x軸正方向成θ=60°角射入磁場(chǎng)，恰好不會(huì)從磁場(chǎng)的下邊界射出磁場(chǎng)，如圖所示．不計(jì)粒子的重力，求
（1）M、N兩點(diǎn)間的電勢(shì)差U；
（2）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B；
（3）粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到第一次離開(kāi)磁場(chǎng)的總時(shí)間t．

Answer 1

分析：（1）粒子在第一象限的電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理可以求出M、N兩點(diǎn)間的電勢(shì)差．
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由數(shù)學(xué)知識(shí)求出粒子的軌道半徑；
洛倫茲力提供粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由牛頓第二定律可以求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（3）求出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，求出粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，然后求出粒子總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答：解：（1）粒子離開(kāi)第一象限的電場(chǎng)時(shí)，粒子速度v=

v0

cos60°

=2v₀，
電子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
由動(dòng)能定理得：qU=

1

2

mυ2-

1

2

m

υ

2 0

，
解得：U=

3m v 2 0

2q

；
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，
由數(shù)學(xué)知識(shí)可得：rsin30°+r=d，
由牛頓第二定律得：qBv=m

v2

r

，
解得：B=

3mυ0

qd

；
（3）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=

2πr

qB

=

2πm

qB

，
由粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，由數(shù)學(xué)知識(shí)可得，粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為240°，
粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t2=

240

360

T，
粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)豎直方向的分速度v_y=vsin60°=

3

v₀，
由牛頓第二定律得：a=

qE

m

，
由勻變速運(yùn)動(dòng)的速度公式：v_y=at₁，
解得，粒子的運(yùn)動(dòng)總時(shí)間：t=t₁+t₂=

3 mv0

qE

+

4πm

3qB

；
答：（1）M、N兩點(diǎn)間的電勢(shì)差為

3m v 2 0

2q

；
（2）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為

3mv0

qd

；
（3）粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到第一次離開(kāi)磁場(chǎng)的總時(shí)間為

3 mv0

qE

+

4πm

3qB

．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的綜合題，根據(jù)題意作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡．應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)求出粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑、粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，是本題的難點(diǎn)，也是正確解題的關(guān)鍵．