Question

如圖所示，MNPQ是一個(gè)足夠長(zhǎng)的處于豎直平面內(nèi)的固定的金屬框架，框架的寬度為L(zhǎng)，電阻忽略不計(jì)．a(chǎn)b是一根質(zhì)量為m，有一定電阻的導(dǎo)體，能緊貼框架無(wú)摩擦下滑，整個(gè)框架平面處于垂直于框架平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感強(qiáng)度為B．當(dāng)單刀雙擲開(kāi)關(guān)S置于1位置時(shí)，導(dǎo)體ab恰好靜止在框架的某一處．已知電源的電動(dòng)勢(shì)為ε，內(nèi)阻為r．
（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向如何？
（2）當(dāng)開(kāi)關(guān)S置于2位置時(shí)，導(dǎo)體ab由靜止開(kāi)始下落，試寫(xiě)出ab下落運(yùn)動(dòng)的分析過(guò)程，并用所給的物理量表達(dá)ab在下落過(guò)程中的最大速度．
（3）ab達(dá)到最大速度的1/2時(shí)，其加速度大小是多大？此時(shí)ab兩端的電壓為多少？
（4）如果ab由靜止開(kāi)始下落到達(dá)到最大速度所用的時(shí)間為t，下落高度為h．試推導(dǎo)則該過(guò)程中h和t應(yīng)滿足的不等式關(guān)系？

Answer 1

（1）由左手定則判斷得知：磁場(chǎng)方向垂直紙面向內(nèi)
（2）S接1時(shí)，mg=F=BIL=B

ε

R+r

L  ①
S接2時(shí)，剛開(kāi)始ab下落的加速度為g，接著加速運(yùn)動(dòng)、同時(shí)受重力和安培力作用，由牛頓第二定律得：mg-F=ma
隨著的υ的增大，感應(yīng)電場(chǎng)也隨著增大，感應(yīng)電流也增大，從而使F增大而導(dǎo)致速度a的減小，最終達(dá)到和重力的平衡而做勻速運(yùn)動(dòng)，因而有：mg=F=BIL=

B2L2 υ  m

R

②
由①得R代入②整理后得：υ_m=

ε

BL

-

mgr

B2L2

（3）由②可知，當(dāng)ab達(dá)到最大速度的

1

2

時(shí)，安培力F=

1

2

mg，因此有：
   mg-F=ma
解得，a=

1

2

g．
又因?yàn)�，ab切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，其電阻相當(dāng)于電源內(nèi)阻，而據(jù)題意，框架電阻不計(jì)，因而外電阻為0，從而使ab兩端的電壓（端電壓）為0．
（4）作出ab運(yùn)動(dòng)過(guò)程的υ-t圖線：
ab初始加速度為g，即圖線在原點(diǎn)的切線斜率為g．運(yùn)動(dòng)過(guò)程下落距離h即為圖線曲線部分所包的“面積”，它介于圖示“梯形面積”和“三角形面積”之間．
故有：

1

2

υm(2t-

υm

g

)＞h＞

1

2

υmt，
將（2）中求的υ_m值代入得：

1

2

(

ε

BL

-

mgr

B2L2

)(2t-

ε

BLg

+

mr

B2L2

)＞h＞

1

2

(

ε

BL

-

mgr

B2L2

)t
答：
（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向垂直紙面向內(nèi)；
（2）S接2時(shí)，剛開(kāi)始ab下落的加速度為g，接著加速運(yùn)動(dòng)、同時(shí)受重力和安培力作用，由牛頓第二定律得：mg-F=ma，隨著的υ的增大，感應(yīng)電場(chǎng)也隨著增大，感應(yīng)電流也增大，從而使F增大而導(dǎo)致速度a的減小，最終達(dá)到和重力的平衡而做勻速運(yùn)動(dòng)，ab在下落過(guò)程中的最大速度為

ε

BL

-

mgr

B2L2

．
（3）ab達(dá)到最大速度的

1

2

時(shí)，其加速度大小是

1

2

g，此時(shí)ab兩端的電壓為0．
（4）該過(guò)程中h和t應(yīng)滿足的不等式關(guān)系為：

1

2

(

ε

BL

-

mgr

B2L2

)(2t-

ε

BLg

+

mr

B2L2

)＞h＞

1

2

(

ε

BL

-

mgr

B2L2

)t