Question

18．已知地球質(zhì)量大約是月球質(zhì)量的81倍，地球半徑大約是月球半徑的4倍．如圖所示，甲、乙兩個(gè)完全相同的斜面分別固定在地球和月球的水平地面上，將相同的小球從斜面上的同一高度O點(diǎn)處，以相同初速度v₀沿水平方向拋出，分別落在甲、乙斜面上的A、B兩點(diǎn)（圖中未畫出）．不計(jì)空氣阻力且忽略地球和月球自轉(zhuǎn)影響，則下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 不可以求出OA之間距離和OB之間距離之比
• B． 小球落到A點(diǎn)與落到B點(diǎn)的速率不相同
• C． 小球從拋出到落在B點(diǎn)所用時(shí)間大于小球從拋出到落在A點(diǎn)所用時(shí)間
• D． 小球從拋出到落在A點(diǎn)與小球從拋出到落在B點(diǎn)過(guò)程中，合力對(duì)小球做功不同

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力，求出地球表面和月球表面的重力加速度之比，根據(jù)分析合力做功大小和末速度大小關(guān)系，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出小球的時(shí)間大小關(guān)系．

解答 解：根據(jù)天體表面物體重力等于萬(wàn)有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
得$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$
$\frac{{g}_{地}^{\;}}{{g}_{月}^{\;}}=\frac{{M}_{地}^{\;}}{{M}_{月}^{\;}}\frac{{R}_{月}^{2}}{{R}_{地}^{2}}=\frac{81}{1}×\frac{1}{16}=\frac{81}{16}$
將平拋運(yùn)動(dòng)分解為水平和豎直方向，設(shè)水平位移為x，豎直位移為y，根據(jù)幾何關(guān)系有
$tanθ=\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}}{{v}_{0}^{\;}t}$得$t=\frac{2{v}_{0}^{\;}tanθ}{g}$∝$\frac{1}{g}$
$\frac{{t}_{B}^{\;}}{{t}_{A}^{\;}}=\frac{{g}_{地}^{\;}}{{g}_{月}^{\;}}=\frac{81}{16}$，即小球拋出到落在B點(diǎn)所用時(shí)間大于小球從拋出到落在A點(diǎn)所用時(shí)間，故C正確．
小球的位移$l=\frac{x}{cosθ}=\frac{{v}_{0}^{\;}t}{cosθ}$∝t
所以$\frac{{l}_{OA}^{\;}}{{l}_{OB}^{\;}}=\frac{{t}_{A}^{\;}}{{t}_{B}^{\;}}=\frac{16}{81}$，故A錯(cuò)誤；
合力做的功等于重力所做的功${W}_{合}^{\;}=mgh=mg（\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}）=\frac{1}{2}m{g}_{\;}^{2}{t}_{\;}^{2}$=$\frac{1}{2}m（gt）_{\;}^{2}=\frac{1}{2}m（g×\frac{2{v}_{0}^{\;}tanθ}{g}）_{\;}^{2}$=$2m{v}_{0}^{2}ta{n}_{\;}^{2}θ$，相同小球m相同，相同的初速度${v}_{0}^{\;}$，相同的斜面θ相同，故D錯(cuò)誤．
根據(jù)動(dòng)能定理${W}_{合}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，由上述分析知，${W}_{合}^{\;}$相同，$m、{v}_{0}^{\;}$相同，所以落到斜面速度大小相等，故B錯(cuò)誤．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題將萬(wàn)有引力定律和平拋運(yùn)動(dòng)、動(dòng)能定理綜合考查，由重力近似等于萬(wàn)有引力求出重力加速度之比，平拋運(yùn)動(dòng)根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解處理，有一定的難度．