Question

假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體．一礦井深度為d．已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零．礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為（　　）

• A．1-

  d

  R

• B．1+

  d

  R

• C．(

  R-d

  R

  )2
• D．(

  R

  R-d

  )2

Answer 1

分析：根據(jù)題意知，地球表面的重力加速度等于半徑為R的球體在表面產(chǎn)生的加速度，礦井深度為d的井底的加速度相當(dāng)于半徑為R-d的球體在其表面產(chǎn)生的加速度，根據(jù)地球質(zhì)量分布均勻得到加速度的表達(dá)式，再根據(jù)半徑關(guān)系求解即可．

解答：解：令地球的密度為ρ，則在地球表面，重力和地球的萬(wàn)有引力大小相等，有：g=G

M

R2

，由于地球的質(zhì)量為：M=ρ

4

3

πR3，所以重力加速度的表達(dá)式可寫(xiě)成：
g=

GM

R2

=G

ρ 4 3 πR3

R2

=

4

3

GρπR．
根據(jù)題意有，質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，固在深度為d的井底，受到地球的萬(wàn)有引力即為半徑等于（R-d）的球體在其表面產(chǎn)生的萬(wàn)有引力，故井底的重力加速度g′=

4

3

Gρπ(R-d)
所以有

g′

g

=

4 3 Gρπ(R-d)

4 3 GρπR

=

R-d

R

=1-

d

R

故選A．

點(diǎn)評(píng)：抓住在地球表面重力和萬(wàn)有引力相等，在礦井底部，地球的重力和萬(wàn)有引力相等，要注意在礦井底部所謂的地球的質(zhì)量不是整個(gè)地球的質(zhì)量而是半徑為（R-d）的球體的質(zhì)量．