Question

13．2016年1月5日上午，國(guó)防科工局正式發(fā)布國(guó)際天文學(xué)聯(lián)合會(huì)批準(zhǔn)的嫦娥三號(hào)探測(cè)器著陸點(diǎn)周邊區(qū)域命名為“廣寒宮”，附近三個(gè)撞擊坑分別命名為“紫微”、“天市”、“太微”．此次成功命名，是以中國(guó)元素命名的月球地理實(shí)體達(dá)到22個(gè)．質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星與月心的距離為r時(shí)，重力勢(shì)能可表示為$E_p=-\frac{GMm}{r}$，其中G為引力常量，M為月球質(zhì)量．若“嫦娥三號(hào)”在原來(lái)半徑為 R₁的軌道上繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于受到及稀薄空氣的摩擦作用，飛行一段時(shí)間后其圓周運(yùn)動(dòng)的半徑變?yōu)?R₂，已知：月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g₀，地球表面的重力加速度為g，此過(guò)程中因摩擦而產(chǎn)生的熱量為（　�。�

• A． $m{g_0}{R^2}（{\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1}}）$
• B． $mg{R^2}（{\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1}}）$
• C． $\frac{{mg{R^2}}}{2}（{\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1}}）$
• D． $\frac{{m{g_0}{R^2}}}{2}（{\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1}}）$

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得出衛(wèi)星在不同軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)動(dòng)能，結(jié)合重力勢(shì)能的大小，根據(jù)能量守恒定律，結(jié)合黃金代換式求出產(chǎn)生的熱量．

解答 解：衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由地球的萬(wàn)有引力提供向心力，則軌道半徑為R₁時(shí)，有：$G\frac{Mm}{{{R}_{1}}^{2}}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$  ①
衛(wèi)星的引力勢(shì)能${E}_{p1}=\frac{GMm}{{R}_{1}}$   ②
軌道半徑為R₂時(shí)有：$G\frac{Mm}{{{R}_{2}}^{2}}=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$   ③
衛(wèi)星的引力勢(shì)能${E}_{p2}=-\frac{GMm}{{R}_{2}}$  ④
設(shè)摩擦力而產(chǎn)生的熱量為Q，根據(jù)能量守恒得：$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+{E}_{p1}=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}+{E}_{p2}+Q$⑤，
由黃金代換式得，GM=${g}_{0}{R}^{2}$   ⑥
聯(lián)立①～⑥得，Q=$\frac{{m{g_0}{R^2}}}{2}（{\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1}}）$，故D正確，A、B、C錯(cuò)誤．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了牛頓第二定律、能量守恒，掌握萬(wàn)有引力定律的兩個(gè)重要理論：萬(wàn)有引力提供向心力，萬(wàn)有引力等于重力，并能靈活運(yùn)用．