Question

12．某航天飛機(jī)在地球赤道上空飛行，軌道半徑為r，飛行方向與地球的自轉(zhuǎn)方向相同，設(shè)地球的自轉(zhuǎn)角速度為ω₀，地球半徑為R，地球表面重力加速度為g．求：
（1）航天飛機(jī)的角速度．
（2）在某時(shí)刻航天飛機(jī)通過赤道上某建筑物的上方（飛機(jī)高度低于同步衛(wèi)星高度），求它下次通過該建筑物上方所需的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)地球表面重力等于萬有引力列式；衛(wèi)星受到的萬有引力提供向心力，再次列式；聯(lián)立求解即可；
（2）衛(wèi)星下次通過該建筑物上方時(shí)比地球多轉(zhuǎn)動(dòng)一圈．

解答 解：（1）地球表面的物體重力等于萬有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得$GM=g{R}_{\;}^{2}$
根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m{ω}_{\;}^{2}r$
解得：$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}_{\;}^{3}}}$
聯(lián)立得$ω=\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{{r}_{\;}^{3}}}$
（2）根據(jù)題意飛機(jī)高度低于同步衛(wèi)星高度，所以$ω＞{ω}_{0}^{\;}$，
$ωt-{ω}_{0}^{\;}t=2π$
解得：$t=\frac{2π}{ω-{ω}_{0}^{\;}}=\frac{2π}{\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{{r}_{\;}^{3}}}-{ω}_{0}^{\;}}$
答：（1）航天飛機(jī)的角速度$\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{{r}_{\;}^{3}}}$．
（2）在某時(shí)刻航天飛機(jī)通過赤道上某建筑物的上方（飛機(jī)高度低于同步衛(wèi)星高度），它下次通過該建筑物上方所需的時(shí)間$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{{r}_{\;}^{3}}}-{ω}_{0}^{\;}}$

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵抓住萬有引力提供向心力和地球表面重力等于萬有引力列方程求解，同時(shí)明確勻速圓周運(yùn)動(dòng)中多轉(zhuǎn)動(dòng)一圈是多轉(zhuǎn)動(dòng)2π弧度．