Question

如圖4-3-19所示，豎直圓筒內(nèi)壁光滑，半徑為R，頂部有入口A，在A的正下方h處有出口B.一質(zhì)量為m的小球從入口A沿切線方向由水平槽射入圓筒內(nèi)，要使球從B處飛出，小球射入口A的速度v₀應(yīng)滿足什么條件？在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，球?qū)ν驳膲毫τ卸啻螅?

圖4-3-19

Answer 1

解析：解決曲線運(yùn)動(dòng)的最基本方法是運(yùn)動(dòng)的合成與分解，小球在初速度方向上不受任何力，故小球在水平面內(nèi)的分運(yùn)動(dòng)為勻速率圓周運(yùn)動(dòng)；小球在豎直方向無(wú)初速度且只受重力，故小球在豎直方向的分運(yùn)動(dòng)為自由落體運(yùn)動(dòng).對(duì)于周期性的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題還要注意多解存在的可能性.圓周運(yùn)動(dòng)的周期性決定本題的多解性.

小球自入口A射入后的運(yùn)動(dòng)可以分解成兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，一個(gè)是以入射速率為線速度在水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)是在豎直方向上的自由落體運(yùn)動(dòng).設(shè)小球在圓筒內(nèi)繞過(guò)n圈后，從B處飛出,則小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)走過(guò)的路程是：

n(2πR)=v₀t①

在豎直方向上有：h=gt²②

由①②兩式消去t得：

v₀==2πnR(n=1,2,3,…)

小球在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，水平方向只受支持力F_N,F_N總是指向圓心，充當(dāng)向心力.則由牛頓第二定律可知：

F_N= (n=1,2,3,…)

由牛頓第三定律可知，

小球?qū)ν驳膲毫�為F_N′= (n=1,2,3,…)

故小球射入口A的速度v₀應(yīng)滿足v₀=2πnR (n=1,2,3,…)

小球?qū)ν驳膲毫�為F_N′= (n=1,2,3,…).