Question

18．如圖所示，在xOy平面直角坐標(biāo)系中，直角三角形ACD內(nèi)存在垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場．線段CO=OD=l，θ=30°．在第四象限正方形ODEF內(nèi)存在沿+x方向、大小E=$\frac{{B}^{2}el}{3m}$ 的勻強(qiáng)電場，沿AC在第三象限放置一平面足夠大的熒光屏，屏與y軸平行．一個(gè)電子P從坐標(biāo)原點(diǎn)沿+y方向射入磁場，恰好不從AD邊射出磁場．已知電子的質(zhì)量為m，電量為e．試求：
（1）電子射入磁場時(shí)的速度大��；
（2）電子在電場中運(yùn)動的時(shí)間；
（3）若另一電子Q從x坐標(biāo)軸上某點(diǎn)（x≠0）以相同的速度射入磁場．P、Q打在熒光屏上同一點(diǎn)，電子射人磁場時(shí)的坐標(biāo)x．

Answer 1

分析 （1）由電子恰好不從AD邊射出磁場得到半徑，再由牛頓第二定律求得速度；
（2）求得電子在電場中的加速度，分析電子可能出射的邊界，分別討論粒子在電場中的運(yùn)動時(shí)間，較短的即為實(shí)際運(yùn)動時(shí)間；
（3）求得電子P在熒光屏上的位置，在討論怎樣的電子可以射到熒光屏上同一點(diǎn)，那么，不同于P的另一運(yùn)動軌跡即為電子P的，再按P的運(yùn)動過程逆推得到Q射入磁場的坐標(biāo)．

解答 解：（1）電子恰好不從AD邊射出磁場得到半徑，則電子運(yùn)動軌跡與AD邊相切，設(shè)電子運(yùn)動半徑為R，則由幾何知識可得：
3R=l，
解得：$R=\frac{1}{3}l$；
電子在磁場中做圓周運(yùn)動，洛倫茲力作向心力，所以有：$Bve=\frac{m{v}^{2}}{R}$
解得：$v=\frac{BeR}{m}=\frac{Bel}{3m}$；
（2）由幾何知識可知，電子進(jìn)入電場的坐標(biāo)為：$x=2R=\frac{2}{3}l$；
電子沿豎直向下的方向進(jìn)入電場，電場力水平向左，所以，電子做類平拋運(yùn)動；
電子的加速度為：$a=\frac{Ee}{m}=\frac{{B}^{2}{e}^{2}l}{3{m}^{2}}$；
電子若從EF間射出，則電子在電場中運(yùn)動的時(shí)間為：${t}_{1}=\frac{l}{v}=\frac{3m}{Be}$；
電子若從OE間離開電場，則電子在電場中運(yùn)動的時(shí)間為：${t}_{2}=\sqrt{\frac{2x}{a}}=\sqrt{\frac{\frac{4}{3}l}{\frac{{B}^{2}{e}^{2}l}{3{m}^{2}}}}=\frac{2m}{Be}$；
因t₁＞t₂，所以由此可以判斷電子是從OE間離開電場的．電子在電場中運(yùn)動的時(shí)間為：${t}_{2}=\frac{2m}{Be}$；
（3）電子P通過y軸的坐標(biāo)為：${y}_{P}=-v{t}_{2}=-\frac{Bel}{3m}×\frac{2m}{Be}=-\frac{2}{3}l$
速度與y軸負(fù)方向的夾角α有關(guān)系式為：$tanα=\frac{a{t}_{2}}{v}=\frac{\frac{{B}^{2}{e}^{2}l}{3{m}^{2}}×\frac{2m}{Be}}{\frac{Bel}{3m}}=2$；
所以，電子P打在熒光屏的y坐標(biāo)為：$y={y}_{P}-\frac{l}{tanα}=-\frac{2}{3}l-\frac{1}{2}l=-\frac{7}{6}l$；
電子Q要打在熒光屏上，則必從OD上離開磁場，進(jìn)入電場；又有電子Q在磁場中的運(yùn)動半徑相同，所以，電子Q進(jìn)入磁場的速度為v，方向豎直向下；所以，電子Q進(jìn)入電場時(shí)的坐標(biāo)x_Q小于x，那么，粒子一定從OE間離開電場；
設(shè)電子Q離開電場時(shí)的坐標(biāo)為（0，-y_Q），在電場中運(yùn)動的時(shí)間為t，則在水平方向上有：${x}_{Q}=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{{B}^{2}{e}^{2}l{t}^{2}}{6{m}^{2}}$，
在豎直方向上有：y_Q=vt，$\frac{7}{6}l-{y}_{Q}=v•\frac{l}{at}$=$\frac{3{m}^{2}v}{{B}^{2}{e}^{2}t}$
所以，$t=\frac{2m}{Be}$（電子P）或$t=\frac{3m}{2Be}$（電子Q）；
所以，${x}_{Q}=\frac{{B}^{2}{e}^{2}l×（\frac{3m}{2Be}）^{2}}{6{m}^{2}}=\frac{3}{8}l$
所以，電子Q進(jìn)入磁場的坐標(biāo)為：
$x={x}_{Q}-2R=\frac{3}{8}l-\frac{2}{3}l=-\frac{7}{24}l$；
答：（1）電子射入磁場時(shí)的速度大小為$\frac{Bel}{3m}$；
（2）電子在電場中運(yùn)動的時(shí)間為$\frac{2m}{Be}$；
（3）若另一電子Q從x坐標(biāo)軸上某點(diǎn)（x≠0）以相同的速度射入磁場．P、Q打在熒光屏上同一點(diǎn)，則電子射人磁場時(shí)的坐標(biāo)x為$-\frac{7}{24}l$．

點(diǎn)評 帶電粒子在磁場中運(yùn)動，垂直進(jìn)入磁場，若從進(jìn)入磁場的點(diǎn)在同一邊界射出磁場，則粒子速度方向正好相反．