Question

11．甲、乙兩個物體均做單向直線運動，路程相同，甲前一半時間內(nèi)以速度v₁勻速直線運動，后一半時間內(nèi)以速度v₂勻速直線運；乙前一半位移以速度v₁勻速直線運動，后一半位移以速度v₂勻速直線運動．v₁≠v₂，則：
（1）甲、乙整個過程的平均速度分別是多少？
（2）走完全程，甲、乙哪個所需時間短？

Answer 1

分析 （1）甲乙均做單向直線運動，甲前一半時間速度v₁，后一半時間速度v₂，所以設甲的總時間為2t；乙前一半位移速度v₁，后一半位移速度v₂，所以設乙的總位移為2x；最后根據(jù)$\overline{v}=\frac{x}{t}$分別求出甲乙的平均速度．
（2）甲乙兩個平均速度做差，判斷出誰的平均速度大，平均速度大的所需的時間短．

解答 解：（1）設甲的總時間為2t，x=vt得，x_甲=v₁t+v₂t，根據(jù)$\overline{{v}_{甲}}=\frac{{x}_{甲}}{2t}$，得：$\overline{{v}_{甲}}=\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$；
設乙的總位移為2x，根據(jù)$t=\frac{x}{v}$得，${t}_{1}=\frac{x}{{v}_{1}}$，${t}_{2}=\frac{x}{{v}_{2}}$，$\overline{{v}_{乙}}=\frac{2x}{{t}_{1}+{t}_{2}}$，得：$\overline{{v}_{乙}}=\frac{2{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$．
（2）$\overline{{v}_{甲}}-\overline{{v}_{乙}}=\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}-\frac{2{{v}_{1}v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$=$\frac{{{（v}_{1}-{v}_{2}）}^{2}}{2{（v}_{1}{+v}_{2}）}＞0$，得出$\overline{{v}_{甲}}＞\overline{{v}_{乙}}$，因為甲乙運動位移相同，故根據(jù)$t=\frac{x}{v}$得，t_甲＜t_乙，故甲用的時間短
答：（1）甲的平均速度為$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$，乙的平均速度為$\frac{{{2v}_{1}v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$．
（2）走完全程，甲用的時間短．

點評 本題（1）考查了平均速度的求法，需根據(jù)題干，合理設出未知量，這樣會使解題變得相對容易．（2）需要同學自己推理出來，相等位移，時間短的平均速度大，平均速度做差比較大小即可．