Question

2000年1月26日我國發(fā)射了一顆地球同步衛(wèi)星，其定點(diǎn)位置與東經(jīng)98°的經(jīng)線在同一平面內(nèi)．如圖所示，發(fā)射地球同步衛(wèi)星時(shí)，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1；然后點(diǎn)火，使其沿橢圓軌道2運(yùn)行；最后再次點(diǎn)火，將衛(wèi)星送入同步圓軌道3．軌道1、2相切于Q點(diǎn)．軌道2、3相切于P點(diǎn)．當(dāng)衛(wèi)星分別在l、2、3軌道上正常運(yùn)行時(shí)，
（1）若設(shè)衛(wèi)星在軌道1上的速率、角速度分別為v₁、ω₁；衛(wèi)星在軌道3上的速率、角速度分別為v₃、ω₃，則v₁

＞

v₃，ω₁

＞

ω₃（填“＞”、“=”或“＜”）
（2）若設(shè)衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過Q點(diǎn)的加速度為a_1Q；衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的加速度和經(jīng)過P點(diǎn)的加速度分別為a_2Q、a_2p；衛(wèi)星在軌道3上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的加速度為a_3p，則以下選項(xiàng)中正確的是

BD

A．a(chǎn)_1Q＞a_2Q　　　　 B．a(chǎn)_1Q=a_2Q C．a(chǎn)_2P＜a_3P　　　 D．a(chǎn)_2P=a_3P
（3）若把甘肅省嘉峪關(guān)處的經(jīng)度與緯度，近似的取為東經(jīng)98°和北緯α=40°，已知地球半徑R，地球自轉(zhuǎn)周期T，地球表面重力加速度g（視為常量）和光速c，試求該同步衛(wèi)星發(fā)出的微波信號(hào)傳到嘉峪關(guān)處的接收站所需的時(shí)間（要求用題給的已知量的符號(hào)表示）．

Answer 1

分析：根據(jù)人造衛(wèi)星的萬有引力等于向心力，列式求出線速度、角速度、和加速度的表達(dá)式進(jìn)行討論即可．
微波信號(hào)傳播速度等于光速c，求時(shí)間須先求出衛(wèi)星與嘉峪關(guān)的距離．綜合運(yùn)用同步衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)關(guān)系和g=G

M

R2

，解出衛(wèi)星距地心距離，再結(jié)合地球知識(shí)，作出相應(yīng)的幾何圖形，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求出衛(wèi)星到嘉峪關(guān)的距離．

解答：解：（1）人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力，設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m、軌道半徑為r、地球質(zhì)量為M，有

GMm

r2

=

mv2

r

=mω²r
解得：v=

GM r

軌道3半徑比軌道1半徑大，衛(wèi)星在軌道1上線速度較大，
ω=

GM r3

軌道3半徑比軌道1半徑大，衛(wèi)星在軌道1上角速度較大，
即v₁＞v₃，ω₁＞ω₃．
（2）

GMm

r2

=ma
a=

GM

r2

所以衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過Q點(diǎn)的加速度等于衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的加速度，衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過P點(diǎn)的加速度等于衛(wèi)星在軌道3上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的加速度．
故選BD．
（3）設(shè)m為衛(wèi)星質(zhì)量，M為地球質(zhì)量，r為衛(wèi)星到地球中心的距離，ω為衛(wèi)星繞地心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，
由萬有引力定律和牛頓定律有，

GMm

r2

=mω²r①
式中G為萬有引力恒量，因同步衛(wèi)星繞地心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω與地球自轉(zhuǎn)的角速度相等，
有ω=

2π

T

   ②

GMm

R2

=mg
得GM=gR²③
設(shè)嘉峪關(guān)到同步衛(wèi)星的距離為L，如圖所示，由余弦定理得
   L=

r2+R2-2rRcosα

        ④
   t=

L

c

        ⑤
由以上各式得
  t=

( R2gT2 4π2 ) 2 3 +R2-2R( R2gT2 4π2 ) 2 3 cosα

c

 
故答案為：（1）＞，＞
（2）BD
（3）該同步衛(wèi)星發(fā)出的微波信號(hào)傳到嘉峪關(guān)處的接收站所需的時(shí)間是

( R2gT2 4π2 ) 2 3 +R2-2R( R2gT2 4π2 ) 2 3 cosα

c

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵抓住萬有引力提供向心力，先列式求解出線速度和角速度的表達(dá)式，再進(jìn)行討論．
解決第三小問關(guān)鍵要掌握同步衛(wèi)星的條件，分析向心力的來源，運(yùn)用萬有引力定律、牛頓第二定律和幾何關(guān)系等等結(jié)合進(jìn)行求解