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5.如圖所示,一根長4m的木桿,假定下端用鉸鏈固定在地面上,桿的頂端有根水平電線向左拉,拉力F恒為500N,桿的右邊用一根長度為4m的鋼繩將桿垂直固定在地面上.(1)如果鋼繩上端A離地面的高度為3.5m,此時鋼繩收到的拉力是多少?
(2)為了使鋼繩受到的拉力最小,其上端A離地面的高度應是多少?此時鋼繩受到的拉力又是多少?

分析 (1)根據(jù)力矩平衡,結合力臂的大小,求出此時鋼繩的拉力大。
(2)根據(jù)力矩平衡得出拉力的表達式,結合數(shù)學知識求出拉力最小時,上端A離地面的高度,以及拉力的大。

解答 解:設桿長為L,鋼繩的拉力為T,鋼繩的長度為a,其上端A離地的高度為x,下端B到鉸鏈的距離為y,鋼繩與桿的夾角為α
(1)由力矩平衡條件得:Txsinα=FL
又因為:$sinα=\frac{y}{a}=\frac{{\sqrt{{a^2}-{x^2}}}}{a}$
代入數(shù)據(jù)得$T=\frac{FLa}{{x\sqrt{{a^2}-{x^2}}}}=\frac{500×4×4}{{3.5×\sqrt{{4^2}-{{3.5}^2}}}}N=1180N$
(2)由力矩平衡條件,考慮到 $sinα=\frac{y}{a}$
所以:$T=\frac{FLa}{xy}$
要使T最小,只有x=y
故:x=y=$\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}$=2.83(m)
T=$\frac{2FL}{a}$=$\frac{2×500×4}{4}N=1000N$.
答:(1)此時鋼繩收到的拉力是1180N.
(2)為了使鋼繩受到的拉力最小,其上端A離地面的高度應是2.83m,此時鋼繩受到的拉力是1000N.

點評 本題是力矩平衡問題,關鍵要正確確定力臂的大小,運用函數(shù)法求繩子拉力的最小值.

練習冊系列答案
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