Question

如圖所示，在坐標(biāo)系xOy所在平面內(nèi)有一半徑為a的圓形區(qū)域，圓心坐標(biāo)O₁（a，0），圓內(nèi)分布有垂直xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)放射源，放射源開(kāi)口的張角為90°，x軸為它的角平分線．帶電粒子可以從放射源開(kāi)口處在紙面內(nèi)朝各個(gè)方向射出，其速率v、質(zhì)量m、電荷量+q均相同．其中沿x軸正方向射出的粒子恰好從O₁點(diǎn)的正上方的P點(diǎn)射出．不計(jì)帶電粒子的重力，且不計(jì)帶電粒子間的相互作用．
（1）求圓形區(qū)域內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向；
（2）a．判斷沿什么方向射入磁場(chǎng)的帶電粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，并求最長(zhǎng)時(shí)間；
b．若在y≥a的區(qū)域內(nèi)加一沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，放射源射出的所有帶電粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中將在某一點(diǎn)會(huì)聚，若在該點(diǎn)放一回收器可將放射源射出的帶電粒子全部收回，分析并說(shuō)明回收器所放的位置．

Answer 1

分析：（1）沿x軸正方向射出的粒子恰好從O₁點(diǎn)的正上方的P點(diǎn)射出，可判斷出偏轉(zhuǎn)方向，利用左手定則可判磁場(chǎng)方向；找出圓心畫(huà)出軌跡，利用幾何關(guān)系可求出半徑，再利用洛倫茲力提供向心力即可求出B；
（2）a、畫(huà)出最上最下兩個(gè)臨界情況的軌跡，即可分析出沿與x軸45°向下射出的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，利用幾何關(guān)系即可求出速度偏轉(zhuǎn)角，從而即可求出時(shí)間；
b、畫(huà)出任意方向射入磁場(chǎng)的軌跡，利用幾何關(guān)系可發(fā)現(xiàn)，粒子均沿y軸正向射出，又在電場(chǎng)中先減速后反向勻加速回到射出點(diǎn)，再次進(jìn)入磁場(chǎng)，再次畫(huà)出軌跡，找出規(guī)律即可求解．

解答：解：（1）沿x軸正方向射出的粒子恰好從O₁點(diǎn)的正上方的P點(diǎn)射出，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示


由幾何關(guān)系可得R=a      ①
設(shè)圓形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，帶電粒子在磁場(chǎng)中所受的洛倫茲力提供向心力：qvB=m

v2

R

    ②
①②聯(lián)立得；B=

mv

qa

由左手定則判斷磁場(chǎng)方向垂直于xOy平面向里
（2）經(jīng)分析，沿與x軸45°向下射出的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，軌跡如圖，

根據(jù)幾何關(guān)系粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)速度方向沿y軸正方向，∠OO₃Q=135°．
設(shè)該帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)周期公式得：T=

2πR

v

      ③
所以tmax=

135

360

T      ④
①③④聯(lián)立得：tmax=

3πa

4v

（3）設(shè)某帶電粒子從放射源射出，速度方向與x軸的夾角為α，做速度v的垂線，截取OO₄=a，以O(shè)₄為圓心a為半徑做圓交磁場(chǎng)邊界于M點(diǎn)．如圖所示：

由于圓形磁場(chǎng)的半徑與帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑均為a，故OO₁MO₄構(gòu)成一個(gè)菱形，所以O(shè)₄M與x軸平行，因此從放射源中射出的所有帶電粒子均沿y軸正方向射出．帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，返回磁場(chǎng)時(shí)的速度與離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度大小相等方向相反，再進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為O₅，OO₄O₅N構(gòu)成一平行四邊形，所以粒子在磁場(chǎng)中兩次轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角之和為180°，第二次離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)都經(jīng)過(guò)N點(diǎn)．故收集器應(yīng)放在N點(diǎn)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（2a，0）．  
答：（1）圓形區(qū)域內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B=

mv

qa

，方向垂直于xOy平面向里
（2）a、最長(zhǎng)時(shí)間tmax=

3πa

4v

b、（2a，0）．

點(diǎn)評(píng)：解決帶電粒子在磁場(chǎng)中的問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)題意找出圓心，畫(huà)出軌跡，一切問(wèn)題可輕松解決．