Question

14．如圖所示，在一個(gè)內(nèi)壁光滑的平底試管內(nèi)部裝有一個(gè)質(zhì)量為1kg的小球，試管的開(kāi)口處裝一轉(zhuǎn)軸，軸到管底小球的距離為5cm，使試管在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)．（g取10m/s²）
（1）若試管在豎直平面內(nèi)做的是變速圓周運(yùn)動(dòng)，則小球恰好能通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度是多少？
（2）若試管在豎直平面內(nèi)做的是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)中試管底部受到小球壓力的最大值是最小值的3倍，求此時(shí)的角速度．
（3）若試管在豎直平面內(nèi)做的是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)角速度ω=$\frac{30rad}{s}$時(shí)，管底對(duì)小球壓力的最大值與最小值分別是多少？

Answer 1

分析 （1）小球恰好通過(guò)最高點(diǎn)，靠重力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律求出小球恰好通過(guò)最高點(diǎn)的速度大�。�
（2）小球在最高點(diǎn)，球?qū)�管底的壓力最小，在最低點(diǎn)，球?qū)�管底的壓力最大，根�?jù)牛頓第二定律，聯(lián)立求出角速度的大�。�
（3）根據(jù)牛頓第二定律求出管底對(duì)小球壓力的最大值和最小值．

解答 解：（1）小球恰好通過(guò)最高點(diǎn)的條件：試管底部對(duì)小球剛好沒(méi)有力的作用$mg=m\frac{v^2}{R}$，
 解得 $v=\sqrt{gR}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}m/s$．
（2）在試管做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，小球始終處在試管底部．
設(shè)小球在最高點(diǎn)時(shí)對(duì)試管的壓力為F：F+mg=mω²R，
小球在最低點(diǎn)時(shí)對(duì)試管的壓力為3F：3F-mg=mω²R，
代入數(shù)據(jù)，利用上兩式解得ω=20rad/s．
（3）當(dāng)角速度ω=30rad/s時(shí)，設(shè)小球在最高點(diǎn)時(shí)對(duì)試管的壓力為F₁，
根據(jù)牛頓第二定律有：${F_1}+mg=m{ω^2}R$，
代入數(shù)據(jù)解得F₁=35N
設(shè)小球在最高點(diǎn)時(shí)對(duì)試管的壓力為F₂，
根據(jù)牛頓第二定律有：${F_2}-mg=m{ω^2}R$，
代入數(shù)據(jù)解得F₂=55N．
答：（1）小球恰好能通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度是$\frac{\sqrt{2}}{2}$m/s；
（2）角速度為20rad/s；
（3）管底對(duì)小球壓力的最大值與最小值分別是55N、35N．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道小球做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解，知道最高點(diǎn)的臨界情況是壓力為零，靠重力提供向心力．