Question

19．如圖所示為玻璃材料制成的一棱鏡的截面圖（OAB為$\frac{1}{4}$圓，OBCD為一矩形），一細(xì)光束從圓弧AB的中點(diǎn)E沿半徑射入棱鏡后，恰好在圓心O點(diǎn)發(fā)生全反射，再經(jīng)CD面反射后，從圓弧的F點(diǎn)射出，已知OA=a，OD=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a，真空中的光速c，求：
①出射光線與法線夾角的正弦值．
②光在棱鏡中傳播的時間．

Answer 1

分析 ①先作出光路圖，根據(jù)幾何關(guān)系得出臨界角，由全反射臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$求出折射率n．由幾何知識求得光線在F點(diǎn)的入射角，由折射定律求解出射光線與法線夾角的正弦值．
②光在棱鏡中的傳播速度v=$\frac{c}{n}$．由幾何知識求出光線在棱鏡中傳播的距離s，由t=$\frac{s}{v}$求解傳播的時間．

解答 解：①作出光路圖如圖．

根據(jù)幾何關(guān)系可知，臨界角為 C=∠EOB=45°
根據(jù)全反射臨界角公式 sinC=$\frac{1}{n}$
得：n=$\frac{1}{sinC}$=$\sqrt{2}$
又 OG=$\sqrt{2}$OD=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{4}$a=$\frac{1}{2}$a，
根據(jù)幾何關(guān)系可知△OGF是直角三角形，則sinα=$\frac{OG}{OF}$=$\frac{1}{2}$
根據(jù)折射定律得，n=$\frac{sinβ}{sinα}$．
解得，sinβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
②光在棱鏡中的傳播速度 v=$\frac{c}{n}$=$\frac{c}{\sqrt{2}}$．
由幾何知識得，光線傳播的長度為 l=a+$\frac{1}{2}$a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．
光在棱鏡中傳播的時間 t=$\frac{l}{v}$=$\frac{（3\sqrt{2}+\sqrt{6}）a}{2c}$
答：
①出射光線與法線夾角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
②光在棱鏡中傳播的時間為$\frac{（3\sqrt{2}+\sqrt{6}）a}{2c}$．

點(diǎn)評 本題的突破口是“光線恰好在圓心O點(diǎn)發(fā)生全反射”，根據(jù)全反射臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$、折射定律n=$\frac{sini}{sinr}$、光速公式v=$\frac{c}{n}$相結(jié)合進(jìn)行處理．分析時，要靈活幾何知識求解相關(guān)角度和光傳播的距離，要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，提高解題能力．