Question

3．我國(guó)航天技術(shù)飛速發(fā)展，設(shè)想數(shù)年后宇航員登上了某個(gè)星球表面．宇航員手持小球從高度為h處，沿水平方向以初速度v拋出，測(cè)的小球運(yùn)動(dòng)的水平距離為L(zhǎng)．已知該行星的半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G．
求：（1）行星表面的重力加速度；
（2）行星的平均密度．

Answer 1

分析 （1）小球在星球表面做平拋運(yùn)動(dòng)，其加速度等于該星球表面的重力加速度g，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律列式求g．
（2）根據(jù)物體的重力等于萬(wàn)有引力，列式求該星球的質(zhì)量，即可求解密度．

解答 解：（1）小球平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移x=L．
則平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=$\frac{x}{{v}_{0}}$=$\frac{L}{{v}_{0}}$．
根據(jù)h=$\frac{1}{2}$gt²得，星球表面的重力加速度g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$=$\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{L}^{2}}$．
（2）根據(jù)G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg得，
星球的質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{2h{v}_{0}^{2}{R}^{2}}{G{L}^{2}}$．
則星球的密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{2h{v}_{0}^{2}{R}^{2}}{G{L}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3h{v}_{0}^{2}}{2G{L}^{2}πR}$．
答：（1）行星表面的重力加速度$\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{L}^{2}}$；
（2）行星的平均密度$\frac{3h{v}_{0}^{2}}{2G{L}^{2}πR}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是萬(wàn)有引力與平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，要抓住平拋運(yùn)動(dòng)的加速度就等于重力加速度，能熟練運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法處理平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力求天體的質(zhì)量．