Question

16．一個(gè)光滑直槽長(zhǎng)為L(zhǎng)，固定在水平面上，直槽兩端有豎直擋板，槽內(nèi)有兩個(gè)質(zhì)量相同的光滑小球．設(shè)水平向右為x軸正方向，初始時(shí)小球1位于x=0處，速度為v，運(yùn)動(dòng)方向向右；小球2位于x=L處，速度為2v，運(yùn)動(dòng)方向向左，如圖所示．小球間的碰撞是完全彈性的（碰撞前后速度交換方向相反），而小球每次與槽壁的碰撞結(jié)果都會(huì)使小球速度減半的返回，求：在哪些時(shí)間段內(nèi)兩小球的速度大小、方向相同？對(duì)應(yīng)這些時(shí)間段的速度大小為多少？

Answer 1

分析 由于兩個(gè)小球每一次碰撞后都交換速度，相對(duì)于兩個(gè)小球在碰撞的過程中相互“穿過”對(duì)方繼續(xù)向前運(yùn)動(dòng)，然后結(jié)合勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式，逐次討論各次碰撞的位置以及到達(dá)槽的時(shí)間即可．

解答 解：由于兩個(gè)質(zhì)量相同的光滑小球間的碰撞是完全彈性的（碰撞前后速度交換方向相反），所以當(dāng)兩個(gè)小球碰撞后，兩個(gè)小球組成的系統(tǒng)相對(duì)于相互“穿過”了對(duì)方，所以在第一次碰撞后小球1以2v返回左側(cè)的時(shí)間：
${t}_{11}=\frac{L}{2v}$，球1與槽碰撞后的速度變成v方向向右；
球2返回第一次右側(cè)的時(shí)間：${t}_{21}=\frac{L}{v}$，球1與槽碰撞后的速度變成$\frac{v}{2}$方向向左，
所以兩個(gè)小球在$\frac{L}{2v}＜t＜\frac{L}{v}$的時(shí)間內(nèi)速度相等，速度的大小為v，方向向右；
在t₁₂時(shí)刻小球1的到O點(diǎn)距離：${x}_{1}=v（{t}_{12}-{t}_{11}）=\frac{L}{2}$
所以在兩個(gè)小球發(fā)生第二次碰撞后，小球1的速度是$\frac{v}{2}$方向向左，小球2的速度是v方向向右；小球2返回右側(cè)的時(shí)間：${t}_{22}={t}_{11}+\frac{L}{v}=\frac{3L}{2v}$，與槽發(fā)生第二次碰撞后的速度變成$\frac{v}{2}$，方向向左；
小球1第二次返回左側(cè)的時(shí)間：${t}_{12}={t}_{21}+\frac{L}{\frac{v}{2}}=\frac{3L}{v}$．與槽發(fā)生第二次碰撞后的速度變成$\frac{v}{2}$，方向向右；
可知在：$\frac{3L}{2v}＜t＜\frac{3L}{v}$的時(shí)間內(nèi)速度也相等，速度變成$\frac{v}{2}$，方向向左；
在兩個(gè)小球發(fā)生第三次碰撞后，小球1的速度是$\frac{v}{2}$方向向左，小球2的速度是$\frac{v}{4}$方向向右；小球2返回右側(cè)的時(shí)間：${t}_{23}={t}_{12}+\frac{L}{\frac{v}{4}}=\frac{7L}{v}$，與槽發(fā)生第三次碰撞后的速度變成$\frac{v}{8}$，方向向左；
小球1第三次返回左側(cè)的時(shí)間：${t}_{13}={t}_{22}+\frac{L}{\frac{v}{2}}=\frac{7L}{2v}$＜t₂₃．與槽發(fā)生第三次碰撞后的速度變成$\frac{v}{4}$，方向向右；
可知在：$\frac{7L}{2v}＜t＜\frac{7L}{v}$的時(shí)間內(nèi)速度也相等，速度變成$\frac{v}{4}$，方向向右；
在兩個(gè)小球發(fā)生第四次碰撞后，小球1的速度是$\frac{v}{8}$方向向左，小球2的速度是$\frac{v}{4}$方向向右；小球2返回右側(cè)的時(shí)間：${t}_{24}={t}_{13}+\frac{L}{\frac{v}{4}}=\frac{15L}{2v}$，與槽發(fā)生第四次碰撞后的速度變成$\frac{v}{8}$，方向向左；
小球1第四次返回左側(cè)的時(shí)間：${t}_{14}={t}_{23}+\frac{L}{\frac{v}{8}}=\frac{15L}{v}$＞t₂₄．與槽發(fā)生第四次碰撞后的速度變成$\frac{v}{16}$，方向向右；
可知在：$\frac{15L}{2v}＜t＜\frac{15L}{v}$的時(shí)間內(nèi)速度也相等，速度變成$\frac{v}{8}$，方向向左；
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由以上的分析可知，兩個(gè)小球在$\frac{L}{2v}＜t＜\frac{L}{v}$以及$\frac{（{n}^{2}-1）L}{2v}＜t＜\frac{（{n}^{2}-1）L}{v}$（n=2，3，4…）的時(shí)間內(nèi)速度是相等的．對(duì)應(yīng)的速度的大小分別為：v，$\frac{v}{2}$，$\frac{v}{4}$••$\frac{v}{{2}^{n-1}}$（n=2，3，4…）（n為兩個(gè)小球的碰撞次數(shù)）
答：兩個(gè)小球在$\frac{L}{2v}＜t＜\frac{L}{v}$以及$\frac{（{n}^{2}-1）L}{2v}＜t＜\frac{（{n}^{2}-1）L}{v}$（n=2，3，4…）的時(shí)間內(nèi)速度是相等的．對(duì)應(yīng)的速度的大小分別為：v，$\frac{v}{2}$，$\frac{v}{4}$••$\frac{v}{{2}^{n-1}}$（n=2，3，4…）（n為兩個(gè)小球的碰撞次數(shù)）．

點(diǎn)評(píng) 該題借助與碰撞模型考查勻速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，解答的關(guān)鍵是要分析清楚小球運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，抓住運(yùn)動(dòng)的規(guī)律解答．