Question

3．在豎直平面內(nèi)有一個(gè)半圓形軌道ABC，半徑為R，如圖所示．A、C兩點(diǎn)的連線水平，B點(diǎn)為軌道最低點(diǎn)．其中AB部分是光滑的，BC部分是粗糙的．有一個(gè)質(zhì)量為m的乙物體靜止在B處，另一個(gè)質(zhì)量為4m的甲物體從A點(diǎn)無初速度釋放，甲物體運(yùn)動(dòng)到軌道最低點(diǎn)與乙物體發(fā)生碰撞，碰撞時(shí)間極短，碰撞后結(jié)合成一個(gè)整體，甲乙構(gòu)成的整體滑上BC軌道，最高運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，OD與OB連線的夾角θ=60°．甲、乙兩物體可以看作質(zhì)點(diǎn)，重力加速度為g，求：
（1）甲物與乙物體碰撞過程中，甲物體受到的沖量．
（2）甲物體與乙物體碰撞后的瞬間，甲乙構(gòu)成的整體對(duì)軌道最低點(diǎn)的壓力．
（3）甲乙構(gòu)成的整體從B運(yùn)動(dòng)到D的過程中，摩擦力對(duì)其做的功．

Answer 1

分析 （1）先研究甲物體從A點(diǎn)下滑到B點(diǎn)的過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出A剛下滑到B點(diǎn)時(shí)的速度，再由動(dòng)量守恒定律求出碰撞后甲乙的共同速度，即可對(duì)甲，運(yùn)用動(dòng)量定理求甲物與乙物體碰撞過程中，甲物體受到的沖量．
（2）甲物體與乙物體碰撞后的瞬間，對(duì)于甲乙構(gòu)成的整體，由牛頓第二定律求出軌道對(duì)整體的支持力，再由牛頓第三定律求得整體對(duì)軌道最低點(diǎn)的壓力．
（3）甲乙構(gòu)成的整體從B運(yùn)動(dòng)到D的過程中，運(yùn)用動(dòng)量定理求摩擦力對(duì)其做的功．

解答 解：（1）甲物體從A點(diǎn)下滑到B點(diǎn)的過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
4mgR=$\frac{1}{2}$$•4m{v}_{0}^{2}$    
解得：v₀=$\sqrt{2gR}$
甲乙碰撞過程，取向左方向?yàn)檎�，根�?jù)動(dòng)量守恒定律得：
4mv₀=5mv                                          
解得：v=$\frac{4}{5}{v}_{0}$=$\frac{4}{5}\sqrt{2gR}$
甲物與乙物體碰撞過程，對(duì)甲，由動(dòng)量定理得：
I_甲=4mv-4mv₀=-$\frac{4}{5}m\sqrt{2gR}$
方向水平向右                                        
（2）甲物體與乙物體碰撞后的瞬間，對(duì)甲乙構(gòu)成的整體，由牛頓第二定律得：
F-5mg=5m$\frac{{v}^{2}}{R}$                                    
解得：F=5mg+6.4mg=11.4mg                                 
根據(jù)牛頓第三定律，對(duì)軌道的壓力F′也為11.4mg，方向豎直向下              
（3）由幾何知識(shí)可知，整體上升的高度為：h=R（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$R
根據(jù)動(dòng)能定理得：-5mg•$\frac{R}{2}$+W_f=0-$\frac{1}{2}•5m{v}^{2}$
解得，摩擦力對(duì)整體做的功為：W_f=-0.7mgR
答：（1）甲物與乙物體碰撞過程中，甲物體受到的沖量大小為$\frac{4}{5}m\sqrt{2gR}$，方向水平向右．
（2）甲物體與乙物體碰撞后的瞬間，甲乙構(gòu)成的整體對(duì)軌道最低點(diǎn)的壓力為11.4mg，方向豎直向下．
（3）甲乙構(gòu)成的整體從B運(yùn)動(dòng)到D的過程中，摩擦力對(duì)其做的功是-0.7mgR．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵按時(shí)間順序分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)情況，把握每個(gè)過程的物理規(guī)律，知道碰撞的基本規(guī)律是動(dòng)量守恒定律．摩擦力是阻力，運(yùn)用動(dòng)能定理是求變力做功常用的方法．