Question

8．如圖所示，一帶電粒子以某一速度在豎直平面內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過一段時(shí)間后進(jìn)入一垂直于紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的最小的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域（圖中未畫出磁場(chǎng)區(qū)域），粒子飛出磁場(chǎng)后垂直電場(chǎng)方向進(jìn)入寬為L(zhǎng)的勻強(qiáng)電場(chǎng)．電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，方向豎直向上．當(dāng)粒子穿出電場(chǎng)時(shí)速度大小變?yōu)樵瓉淼?\sqrt{2}$倍．已知帶電粒子的質(zhì)量為m，電量為q，重力不計(jì)．粒子進(jìn)入磁場(chǎng)前的速度與水平方向成θ=60°角．
試解答：
（1）粒子帶什么電？
（2）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)速度多大？
（3）該最小的圓形磁場(chǎng)區(qū)域的面積為多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子偏轉(zhuǎn)的方向，結(jié)合左手定則判斷出粒子的電性．
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，結(jié)合垂直電場(chǎng)方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，沿電場(chǎng)方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度大�。�
（3）根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑，結(jié)合幾何關(guān)系求出該最小的圓形磁場(chǎng)區(qū)域的面積．

解答 解：（1）根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的情況和左手定則可知，粒子帶負(fù)電．
（2）由于洛倫茲力對(duì)粒子不做功，故粒子以原來的速率進(jìn)入電場(chǎng)中，設(shè)帶電粒子進(jìn)入電場(chǎng)的初速度為v₀，在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)時(shí)做類平拋運(yùn)動(dòng)，
由題意知粒子離開電場(chǎng)時(shí)的末速度大小為${v}_{t}=\sqrt{2}{v}_{0}$，將 v_t分解為垂直于電場(chǎng)方向（X方向）和平行于電場(chǎng)方向（y方向）的兩個(gè)分速度：
由幾何關(guān)系知 v_x=v₀ ①v_y=at    ②
${v}_{0}=\frac{L}{t}$                                         ③
根據(jù)牛頓第二定律得，a=$\frac{F}{m}$      ④
F=Eq                                              ⑤
聯(lián)立①②③④⑤求解得：${v}_{0}=\sqrt{\frac{qEL}{m}}$                       ⑥
（3）如圖所示，帶電粒子在磁場(chǎng)中所受洛倫茲力作為向心力，設(shè)在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑為r，則：
$Bq{v}_{0}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$                 ⑦
$R=\frac{m{v}_{0}}{Bq}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{ELm}{q}}$            ⑧
由幾何知識(shí)可得：r=Rsin30°    ⑨
磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積為s=π r² ⑩
聯(lián)立⑧⑨⑩求解得S=$\frac{πmEL}{4{B}^{2}q}$．
答：（1）粒子帶負(fù)電．
（2）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為$\sqrt{\frac{qEL}{m}}$．
（3）該最小的圓形磁場(chǎng)區(qū)域的面積為$\frac{πmEL}{4{B}^{2}q}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中兩運(yùn)動(dòng)模型：勻速圓周運(yùn)動(dòng)與類平拋運(yùn)動(dòng)，及相關(guān)的綜合分析能力，以及空間想像的能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力．