Question

5．如圖所示，在豎直平面內(nèi)，粗糙的斜面軌道AB的下端與光滑的圓弧軌道BCD相切于B，C是最低點(diǎn)，圓心角∠BOC=37°，D與圓心O等高，圓弧軌道半徑R=1.0m，現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m=0.2kg可視為質(zhì)點(diǎn)的小物體，從D點(diǎn)的正上方E點(diǎn)處自由下落，DE距離h=1.6m，物體與斜面AB之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5．取sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²．求：
（1）物體第一次通過C點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)物體的支持力F_N的大小；
（2）要使物體不從斜面頂端飛出，斜面的長(zhǎng)度L_AB至少要多長(zhǎng)；
（3）若斜面已經(jīng)滿足（2）要求，物體從E點(diǎn)開始下落，直至最后在光滑圓弧軌道做周期性運(yùn)動(dòng)，在此過程中系統(tǒng)因摩擦所產(chǎn)生的熱量Q的大小．

Answer 1

分析 （1）由機(jī)械能守恒可求得物體在C點(diǎn)的速度，C點(diǎn)物體做圓周運(yùn)動(dòng)，則由牛頓第二定律充當(dāng)向心力可求得支持力；
（2）要使物體不飛出，則到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度恰為零，則由動(dòng)能定理可求得AB的長(zhǎng)度；
（3）由于摩擦力小于重力的分力，則物體不會(huì)停在斜面上，故最后物體將穩(wěn)定在C為中心的圓形軌道上做往返運(yùn)動(dòng)，由功能關(guān)系可求得熱量Q．

解答 解：（1）物體從E到C，由機(jī)械能守恒得：mg（h+R）=$\frac{1}{2}$mv_c²；     ①
在C點(diǎn)，由牛頓第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$  ②
聯(lián)立①、②解得支持力 F_N=12.4N         ③
（2）從E～D～C～B～A過程，由動(dòng)能定理得
W_G-W_f=0                           ④
W_G=mg[（h+Rcos37°）-L_ABsin37°]⑤
W_f=μmgcos37°L_AB                  ⑥
聯(lián)立、④、⑤、⑥解得
斜面長(zhǎng)度至少為：L_AB=2.4m       ⑦
（3）因?yàn)椋琺gsin37°＞μmgcos37°（或μ＜tan37°）
所以，物體不會(huì)停在斜面上．物體最后以C為中心，B為一側(cè)最高點(diǎn)沿圓弧軌道做往返運(yùn)動(dòng)．
從E點(diǎn)開始直至穩(wěn)定，系統(tǒng)因摩擦所產(chǎn)生的熱量
Q=△E_P                         ⑧
△E_P=mg（h+Rcos37°）     ⑨
聯(lián)立⑥、⑦解得Q=4.8J    ⑩
在運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生熱量為4.8J
答：（1）物體第一次通過C點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)物體的支持力F_N的大小為12.4N；
（2）要使物體不從斜面頂端飛出，斜面的長(zhǎng)度L_AB至少要2.4m；
（3）若斜面已經(jīng)滿足（2）要求，物體從E點(diǎn)開始下落，直至最后在光滑圓弧軌道做周期性運(yùn)動(dòng)，在此過程中系統(tǒng)因摩擦所產(chǎn)生的熱量Q的大小為4.8J．

點(diǎn)評(píng) 在考查力學(xué)問題時(shí)，常常將動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒及牛頓第二定律等綜合在一起進(jìn)行考查，并且常常綜合平拋、圓周運(yùn)動(dòng)及勻變速直線運(yùn)動(dòng)等運(yùn)動(dòng)的形式．