Question

19．神秘的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律．天文學(xué)家觀測河外星系大麥哲倫云時，發(fā)現(xiàn)了LMCX-3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成，兩星可視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其他天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，它們之間的距離保持不變，如圖所示．
（1）可見星A所受暗星B的引力F_A可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m′的星體（視為質(zhì)點(diǎn)）對它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m₁、m₂，試求m′（用m₁、m₂表示）；
（2）已知A的質(zhì)量m₁，暗星B的質(zhì)量m₂，引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的運(yùn)行速率v，求：可見星A運(yùn)行周期T．

Answer 1

分析 （1）抓住A、B做圓周運(yùn)動的向心力相等，角速度相等，求出A、B軌道半徑的關(guān)系，從而得知A、B距離為A衛(wèi)星的軌道半徑關(guān)系，可見星A所受暗星B的引力F_A可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m′的星體（視為質(zhì)點(diǎn)）對它的引力，根據(jù)萬有引力定律公式求出質(zhì)量m′．
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力由暗星B的質(zhì)量m₂與可見星A的速率v、求運(yùn)行周期T．

解答 解：（1）設(shè)A、B的圓軌道半徑分別為r₁、r₂，由題意知，A、B做勻速圓周運(yùn)動的角速相同，設(shè)為ω．由牛頓運(yùn)動定律，有
${F}_{A}={m}_{1}{r}_{1}{ω}^{2}={m}_{2}{r}_{2}{ω}^{2}$
A、B之間的距離r=r₁+r₂
由萬有引力定律，有 F_A=$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}=G\frac{{m}_{1}m′}{{r}_{1}^{2}}$
由以上各式可解得：m′=$\frac{{m}_{2}^{3}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}$
（2）由牛頓第二定律，有$G\frac{{m}_{1}m′}{{r}_{1}^{2}}={m}_{1}\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$
可見星A的周期T=$\frac{2π{r}_{1}}{v}$   
解得：T=$\frac{2πG{m}_{2}^{3}}{{v}^{3}（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}$
答：（1）可見星A所受暗星B的引力F_A可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m′的星體（視為質(zhì)點(diǎn)）對它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m₁、m₂，m′的表示式為$\frac{{m}_{2}^{3}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}$；
（2）已知A的質(zhì)量m₁，暗星B的質(zhì)量m₂，引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的運(yùn)行速率v，可見星A運(yùn)行周期T為$\frac{2πG{m}_{2}^{3}}{{v}^{3}（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}$．

點(diǎn)評 本題是雙子星問題，關(guān)鍵抓住雙子星所受的萬有引力相等，轉(zhuǎn)動的角速度相等，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律綜合求解．