Question

4．如圖所示，用長(zhǎng)L=0.5m的細(xì)繩懸掛著質(zhì)量為M=0.99kg的小球．今有一質(zhì)量為m=0.01kg的子彈以水平速度v₀擊中小球并留在其中，為保證小球能在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)而懸線不會(huì)松弛，v₀必須滿足什么條件？

Answer 1

分析 要使木球在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)過程中懸線始終不發(fā)生松弛，木球運(yùn)動(dòng)有兩種情況：一是木球運(yùn)動(dòng)速度較大時(shí)將做完整圓周運(yùn)動(dòng)，二是木球速度較小時(shí)做不完整圓周運(yùn)動(dòng)（即擺動(dòng)）．根據(jù)牛頓第二定律求出在最高點(diǎn)的最小速度，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出子彈與木球在最低點(diǎn)的最小速度，最后通過動(dòng)量守恒定律求出子彈做完整圓周運(yùn)動(dòng)的最小初速度．由機(jī)械能守恒定律求得子彈做不完整圓周運(yùn)動(dòng)最大速度．

解答 解：子彈進(jìn)入木塊的過程中水平方向二者不受外力，滿足動(dòng)量守恒定律，選擇向右為正方向，子彈擊中木球時(shí)，由動(dòng)量守恒定律得：
mV₀=（m+M）v₁
下面分兩種情況：
（1）若小球能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則在最高點(diǎn)滿足：
  （m+M）g≤（m+M）$\frac{{v}_{2}^{2}}{L}$
小球從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程中，由機(jī)械能守定律得：
 $2（m+M）gL+\frac{1}{2}（M+m）{v}_{2}^{2}=\frac{1}{2}（M+m）{v}_{1}^{2}$
由以上各式解得：${v}_{0}≥\frac{m+M}{m}\sqrt{5gL}$
代入數(shù)據(jù)得：v₀≥500m/s．
（2）若木球不能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則上升的最大高度為L(zhǎng)時(shí)，（與O點(diǎn)在同一水平線上）應(yīng)滿足：
$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{1}^{2}≤（M+m）gL$
解得：${v}_{0}≤\frac{M+m}{m}\sqrt{2gL}$
代入數(shù)據(jù)得：v₀≤100$\sqrt{10}$m/s．
所以，要使小球在豎直平面內(nèi)做懸線不松弛的運(yùn)動(dòng)，V₀應(yīng)滿足的條件是：v₀≥500m/s或 v₀≤200m/s．
答：子彈初速度V₀應(yīng)滿足的條件是：v₀≥500m/s或 v₀≤100$\sqrt{10}$m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律以及牛頓第二定律，關(guān)鍵理清整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，分兩種情況進(jìn)行討論求解的解答的關(guān)鍵，不能由疏漏．