Question

8．在一個(gè)豎直面內(nèi)固定一個(gè)半徑為R的光滑半圓環(huán)，AB為直徑，小球從A處沿圓環(huán)內(nèi)側(cè)切線方向射入并在環(huán)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，如圖所示，若小球剛好落在圓心O點(diǎn)，求在A點(diǎn)入射時(shí)的初速度v₀多大？（已知R=$\sqrt{3}$m，g=10m/s²）

Answer 1

分析 小球若是能到達(dá)圓心O點(diǎn)，說(shuō)明小球不能沿圓弧運(yùn)動(dòng)到達(dá)圓弧的最高點(diǎn)，則小球在圓弧的上升階段離開(kāi)圓弧，然后向上做斜上拋運(yùn)動(dòng)，先判斷出小球離開(kāi)軌道的位置，然后將之后的運(yùn)動(dòng)沿水平方向與豎直方向分解，并結(jié)合機(jī)械能守恒定律即可求解．

解答 解：由題意可知小球在圓環(huán)內(nèi)先做圓周運(yùn)動(dòng)，再做斜上拋運(yùn)動(dòng)后落到O點(diǎn)．設(shè)小球在C點(diǎn)與軌道分離，設(shè)OC與OA夾角為θ．
有機(jī)械能守恒的：$mgRsinθ=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}$ …①
在C點(diǎn)有重力的分力提供向心力：$mgsinθ=\frac{m{v}_{c}^{2}}{R}$  …②
兩式聯(lián)立解的：${{v}_{c}}^{2}=Rgsinθ$，${v}_{0}^{2}=3Rgsinθ$   …③
小球從C點(diǎn)到O點(diǎn)有運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的：Rcosθ=v_csinθ•t    …④
$Rsinθ=-{v}_{c}cosθ•t+\frac{1}{2}g{t}^{2}$…⑤
聯(lián)立以上三式解的：sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$        ⑥
代入③式得：${v}_{0}=\sqrt{\sqrt{3}Rg}=\sqrt{\sqrt{3}×\sqrt{3}×10}=\sqrt{30}$m/s
答：在A點(diǎn)入射時(shí)的初速度v₀是$\sqrt{30}$m/s．

點(diǎn)評(píng) 該題結(jié)合機(jī)械能守恒定律考查豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)以及斜上拋運(yùn)動(dòng)，屬于高中物理競(jìng)賽的題目，在解答的過(guò)程中要注意小球離開(kāi)軌道時(shí)的受力特點(diǎn)是重力的分力恰好提供向心力，這是解答的關(guān)鍵．