Question

18．北京成功申辦2022年冬季奧林匹克運(yùn)動會，吸引了越來越多的體育愛好者參加滑雪運(yùn)動，如圖所示是某一體育愛好者一次滑雪表演的簡易示意圖，愛好者連同腳下滑板（可視為質(zhì)點）的總質(zhì)量為m=60kg，愛好者從某一可視為光滑的傾斜滑雪軌道由靜止滑下，軌道的底端有一質(zhì)量為M=90kg的小車靜止在光滑的水平冰面上，小車是由半徑為R=1m的四分之一光滑圓弧軌道和長為L=5m的平直軌道組成，平直軌道與傾斜軌道底端在同一高度，已知愛好者開始下滑的位置離小車平直軌道的高度為h₀=5m，g取10m/s²．
（1）若小車被固定，測得愛好者滑出小車后離小車頂端的最大高度為h₁=3m，求愛好者的滑板與小車平直軌道部分的動摩擦因數(shù)μ；
（2）若小車不固定，愛好者仍從原位置由靜止滑下，求愛好者滑離小車后小車頂端的最大高度h₂；
（3）在（2）問基礎(chǔ)上通過分析計算說明：愛好者會不會從小車左端滑離小車．

Answer 1

分析 （1）對愛好者由靜止滑下到運(yùn)動至最高點的過程，由動能定理列式求解動摩擦因數(shù)μ．
（2）若小車不固定，由機(jī)械能守恒定律求出愛好者滑到斜面底端時的速度大�。異酆谜咴谛≤嚿匣瑒訒r，愛好者與小車組成的系統(tǒng)水平方向動量守恒．由動量守恒定律和能量守恒定律結(jié)合求愛好者滑離小車后小車頂端的最大高度h₂；
（3）對整個過程，運(yùn)用動量守恒定律和能量守恒定律結(jié)合求出物塊在小車水平部分滑行的距離，從而判斷愛好者會不會從小車左端滑離小車．

解答 解：（1）愛好者由靜止滑下運(yùn)動至最高點的過程中，由動能定理得：
mg（h₀-h₁-R）-μmgL=0
代入數(shù)據(jù)解得：μ=0.2
（2）愛好者由靜止滑下，設(shè)滑到軌道底端時速度為v₁，由機(jī)械能守恒定律得：
mgh₀=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$ 
設(shè)愛好者到達(dá)最高點時的速度為v₂，高小車頂端的高度為h₂，此時小車的速度也為v₂．從愛好者滑上小車到運(yùn)動至最高點過程中，取水平向右為正方向，由水平方向動量守恒得：
mv₁=（M+m）v₂．
由能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$（M+m）v₂²+mg（R+h₂）+μmgL
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：h₂=1m
（3）設(shè)愛好者滑回小車，在小車平直軌道離小車左端x處相對小車靜止，此時兩者的共同速度仍為v₂，從愛好者滑上小車到相對小車靜止的過程中，由能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$（M+m）v₂²+2μmg（2L-x）
代入數(shù)據(jù)解得：x=-5m＜0
計算結(jié)果說明，愛好者能滑出小車．
答：（1）愛好者的滑板與小車平直軌道部分的動摩擦因數(shù)μ是0.2．
（2）愛好者滑離小車后小車頂端的最大高度h₂是1m．
（3）愛好者會從小車左端滑離小車．

點評 分析清楚愛好者的運(yùn)動情況，把握隱含的臨界條件，如愛好者滑至最高點時與小車的速度相同是解決本題的關(guān)鍵．要知道摩擦產(chǎn)生的熱量與相對路程有關(guān)．