Question

6．豎直放置的兩根表面光滑的平行金屬導軌，間距為d，導軌上端連接一阻值為R的定值電阻．兩導軌間存在著與導軌平面垂直且方向相反的勻強磁場區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，磁感應強度大小均為B．當質量為m₀的金屬棒ab從圖中位置由靜止釋放后，剛進入區(qū)域Ⅰ即做勻速運動；若在金屬棒的中點掛上質量為△_m的小沙桶，仍從圖示位置由靜止釋放金屬棒ab，棒匝磁場中某一位置可達到最大速度；若逐漸增大小沙桶的質量，棒所達到的最大速度v_m隨之改變．已知重力加速度大小為g，區(qū)域Ⅱ足夠大，不計導軌和金屬棒ab的電阻，金屬棒一直與導軌垂直且接觸良好．
（1）金屬棒不掛沙桶時進入區(qū)域Ⅱ后做什么運動？（簡述理由）
（2）求金屬棒ab釋放的位置與區(qū)域Ⅰ上邊界的距離h；
（3）寫出v_m和△_m的函數關系式．

Answer 1

分析 磁場Ⅰ和Ⅱ區(qū)雖然方向相反，但由于安培力阻礙相對運動，所以安培力的方向均豎直向上．雖然是兩個區(qū)域，但跟一個區(qū)區(qū)域無多大差別．
（1）根據左手定則：當磁場和電流方向兩個都變化時，安培力的方向不變，所以仍有重力與安培力平衡．
（2）由于進入Ⅰ區(qū)棒就勻速直線運動，所以有重力與安培力平衡，將切割磁感線產生感應電動勢公式、歐姆定律、安培力公式代入平衡條件就能求出離Ⅰ區(qū)上邊緣的距離．
（3）當棒的質量增加時，進入Ⅰ區(qū)的速度不變，此刻重力大于安培力，做加速運動，同時安培力也增加，當兩者相等時最后勻速直線運動，據平衡條件就能求出函數式．

解答 解：（1）不掛小桶時，棒進入Ⅱ區(qū)后仍然做勻速直線運動．因為感應電流的安培力總是阻礙棒的相對運動，在Ⅰ區(qū)勻減速直線運動時，安培力向上．進入Ⅱ區(qū)雖然磁場方向改變，電流方向也改變，磁場與電流方向均變化，則安培力方向不變，由于速度大小不會突變，安培力大小也不變，所以在Ⅱ區(qū)仍平衡，做勻速直線運動．
（2）從釋放到進入Ⅰ區(qū)由自由落體公式：$h=\frac{{v}^{2}}{2g}$  ①
    做勻速直線運動則有：mg=BId     ②
    而$I=\frac{E}{R}=\frac{Bdv}{R}$    ③
   聯立①②③得：$h=\frac{{m}^{2}{g}^{\;}{R}^{2}}{2{B}^{4}znnq3em^{4}}$   
（3）當在棒的中央掛上小桶時，它們進入磁場區(qū)域做加速度減小的加速速運動．當加速度減小為零時，速度達到最大，則有
    $（m+△m）g=B•\frac{Bd{v}_{m}}{R}d$         ④
所以：${v}_{m}=\frac{（m+△m）gR}{{B}^{2}ejjdo8z^{2}}$
答：（1）金屬棒不掛沙桶時進入區(qū)域Ⅱ后做勻速直線運動．
（2）求金屬棒ab釋放的位置與區(qū)域Ⅰ上邊界的距離為$\frac{{m}^{2}g{R}^{2}}{2{B}^{4}hkffd8c^{4}}$．
（3）v_m和△_m的函數關系式為${v}_{m}=\frac{（m+△m）gR}{{B}^{2}nbtzks5^{2}}$．

點評 方向相反的兩個磁場區(qū)域是一個陷阱，棒進入Ⅰ、Ⅱ兩個區(qū)域安培力方向不變，這是本題的關鍵．由題設條件，加小桶與否都有一個平衡，由平衡條件就能求出相應的物理量或函數式．