Question

2．如圖1所示，兩根間距為l₁的平行導(dǎo)軌PQ和MN處于同一水平面內(nèi)，左端連接一阻值為R的電阻，導(dǎo)軌平面處于豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．一質(zhì)量為m、橫截面為正方形的導(dǎo)體棒CD垂直于導(dǎo)軌放置，棒到導(dǎo)軌左端PM的距離為l₂，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌接觸良好，不計(jì)導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒的電阻．
（1）若CD棒固定，已知磁感應(yīng)強(qiáng)度B的變化率$\frac{△B}{△t}$隨時(shí)間t的變化關(guān)系式為$\frac{△B}{△t}$=ksinωt，求回路中感應(yīng)電流的有效值I；
（2）若CD棒不固定，棒與導(dǎo)軌間最大靜摩擦力為f_m，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的關(guān)系式為B=kt．求從t=0到CD棒剛要運(yùn)動(dòng)，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q；
（3）若CD棒不固定，不計(jì)CD棒與導(dǎo)軌間的摩擦；磁場(chǎng)不隨時(shí)間變化，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．現(xiàn)對(duì)CD棒施加水平向右的外力F，使CD棒由靜止開(kāi)始向右以加速度a做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)?jiān)趫D2中定性畫(huà)出外力F隨時(shí)間t變化的圖象．

Answer 1

分析 （1）已知磁感應(yīng)強(qiáng)度B的變化率$\frac{△B}{△t}=ksinωt$，由法拉第電磁感應(yīng)定律求得感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)瞬時(shí)表達(dá)式，由歐姆定律求得感應(yīng)電流瞬時(shí)表達(dá)式，得到感應(yīng)電流的最大值I_m．由于交變電流是正弦式的，所以感應(yīng)電流的有效值I=$\frac{\sqrt{2}}{2}$I_m．
（2）當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的關(guān)系式為B=kt，回路中產(chǎn)生恒定的感應(yīng)電流，CD棒所受的安培力均勻增大，當(dāng)安培力等于最大靜摩擦力時(shí)，棒剛要運(yùn)動(dòng)．根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律得到安培力與時(shí)間的關(guān)系式，由安培力等于最大靜摩擦力求出時(shí)間，由焦耳定律求Q．
（3）先推導(dǎo)出安培力與時(shí)間的關(guān)系式，根據(jù)牛頓第二定律外力F與時(shí)間的關(guān)系式，作出圖象，圖象的“面積”等于外力的沖量，即可由幾何知識(shí)求得沖量I．

解答 解：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律
回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)$e=\frac{△Φ}{△t}=k{l_1}{l_2}sinωt$
所以，電動(dòng)勢(shì)的最大值 E_m=kl₁l₂
由閉合電路歐姆定律 ${I_{m}}=\frac{{{E_{m}}}}{R}=\frac{{k{l_1}{l_2}}}{R}$
由于交變電流是正弦式的，所以感應(yīng)電流的有效值I=$\frac{\sqrt{2}}{2}$I_m
解得，$I=\frac{{k{l_1}{l_2}}}{{\sqrt{2}R}}$
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) $E={l_1}{l_2}\frac{△B}{△t}=k{l_1}{l_2}$
根據(jù)閉合電路歐姆定律 $I=\frac{E}{R}=\frac{{k{l_1}{l_2}}}{R}$
CD桿受到的安培力 ${F_{A}}=BI{l_1}=\frac{{{k^2}l_1^2{l_2}}}{R}t$
當(dāng)CD桿將要開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿(mǎn)足：F_A=f_m
由上式解得：CD棒運(yùn)動(dòng)之前，產(chǎn)生電流的時(shí)間$t=\frac{{{f_m}R}}{{{k^2}l_1^2{l_2}}}$
所以，在時(shí)間t內(nèi)回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q=I²Rt=f_ml₂
（3）CD棒切割磁感線(xiàn)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=Bl₁v
時(shí)刻t的感應(yīng)電流$I=\frac{E}{R}=\frac{{B{l_1}at}}{R}$
CD棒在加速過(guò)程中，根據(jù)由牛頓第二定律 F-BIl₁=ma
解得：$F=\frac{{{B^2}l_1^2a}}{R}t+ma$
根據(jù)上式，可得到外力F隨時(shí)間變化的圖象如圖所示，由圖象面積可知：經(jīng)過(guò)時(shí)間t₀，外力F的沖量I
$I=\frac{1}{2}[{（\frac{{{B^2}l_1^2a}}{R}{t_0}+ma）+ma}]{t_0}$
解得：$I=\frac{{{B^2}l_1^2at_0^2}}{2R}+ma{t_0}$

答：
（1）回路中感應(yīng)電流的有效值I為$\frac{k{l}_{1}{l}_{2}}{\sqrt{2}R}$；
（2）從t=0到CD棒剛要運(yùn)動(dòng)，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q為f_ml₂；
（3）在圖2中定性畫(huà)出外力F隨時(shí)間t變化的圖象如圖所示，經(jīng)過(guò)時(shí)間t₀，外力F的沖量大小I為$\frac{{B}^{2}{l}_{1}^{2}a{t}_{0}^{2}}{2R}$+mat₀

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與交變電流、力學(xué)、電路等多個(gè)知識(shí)的綜合，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由歐姆定律求感應(yīng)電流是基本的思路．對(duì)于涉及棒的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，安培力的推導(dǎo)是關(guān)鍵．