19.一只皮球從高為5m處自由下落,著地后豎直向上反跳,上跳時離地速率等于著地速率的$\frac{3}{4}$,以后每一次反跳的速率都等于前次著地速率的$\frac{3}{4}$.那么這皮球從開始下落到靜止于地面經歷的時間是(g取10m/s2)( 。
A.5sB.6sC.7sD.8s

分析 皮球做往復運動,每個回合分自由下落和豎直上拋兩個子過程,根據(jù)運動學公式逐次求出皮球下落1次、2次…時撞地前瞬間的速度、下落時間和上升時間,總結規(guī)律,得到皮球在地第n次反彈在空中運動的時間,運用數(shù)學知識求總時間.

解答 解:設皮球原來距地高度為h,第一次撞地前速度為v0,下落時間為t0
則有:v0=$\sqrt{2gh}$=10m/s,t0=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=1s
第一次撞地后:v1=$\frac{3}{4}$v0,反彈后空中運動時間為:t1=$\frac{2{v}_{1}}{g}$=2×$\frac{{v}_{1}}{g}$=2×$\frac{3}{4}$s
第二次撞地后:v2=$\frac{3}{4}$v1=$(\frac{3}{4})^{2}{v}_{0}$,反彈后空中運動時間為:${t}_{2}=2×[(\frac{3}{4})^{2}×\frac{{v}_{0}}{g}]=2×(\frac{3}{4})^{2}$s

由運動規(guī)律得:皮球在地n次反彈在空中運動的時間為:tn=2×($\frac{3}{4}$)n
所以皮球從開始下落的總時間為:T=t0+t1+t2…+tn=1+2×$\frac{3}{4}$+2×($\frac{3}{4}$)2+…2×($\frac{3}{4}$)n=1+2×$\frac{\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{4}}$=1+6=7s
故選:C

點評 本題是物理中數(shù)列問題,考查運用數(shù)學知識解決物理問題的能力,關鍵要尋找時間存在的規(guī)律.

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