Question

5．如圖，足夠長(zhǎng)平行金屬導(dǎo)軌內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，金屬桿ab與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，導(dǎo)軌右端通過電阻與平行金屬板AB連接．已知導(dǎo)軌相距為L(zhǎng)；磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；R₁、R₂和ab桿的電阻值均為r，其余電阻不計(jì)；板間距為d、板長(zhǎng)為4d；重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力．
如果ab桿以某一速度向左勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，沿兩板中心線水平射入質(zhì)量為m、帶電量為+q的微粒恰能沿兩板中心線射出；如果ab桿以同樣大小的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，該微粒將射到B板距左端為d的C處．
（1）求ab桿勻速運(yùn)動(dòng)的速度大小v；
（2）求微粒水平射入兩板時(shí)的速度大小v₀；
（3）如果以v₀沿中心線射入的上述微粒能夠從兩板間射出，試討論ab桿向左勻速運(yùn)動(dòng)的速度范圍．

Answer 1

分析 （1）ab桿以某一速度向左勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，沿兩板中心線水平射入質(zhì)量為m、帶電量為+q的微粒恰能沿兩板中心線射出，此時(shí)電場(chǎng)力與重力平衡，可得電場(chǎng)強(qiáng)度數(shù)值，進(jìn)而求得兩板間電壓，并進(jìn)而求得感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和棒的速度
（2）ab桿以同樣大小的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子將做類平拋運(yùn)動(dòng)，由于該微粒將射到B板距左端為d的C處，可求粒子的運(yùn)動(dòng)初速度
（3）ab桿向左勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力與重力方向相反，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，要想使粒子射出電場(chǎng)水平位移應(yīng)為L(zhǎng)，同時(shí)豎直位移應(yīng)該不小于$\fracipyvv8h{2}$，棒速度較小則向下偏，較大則向上偏，討論速度的范圍．

解答 解：（1）設(shè)ab桿的速度為v，則ab桿產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為：ε=BLv…①
兩板間的電壓為：${U_0}=\frac{1}{3}ε=\frac{BLv}{3}$…②
ab桿向左運(yùn)動(dòng)時(shí)：$\frac{{q{U_0}}}4awj0wm=mg$…③
①②③得：$v=\frac{3mgd}{qBL}$…④
（2）ab桿向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)帶電微粒射入兩極板時(shí)的速度為v₀，向下運(yùn)動(dòng)的加速度為a，
經(jīng)時(shí)間t射到C點(diǎn)，有：$\frac{{q{U_0}}}qoy2l6q+mg=ma$…⑤
微粒做類平拋運(yùn)動(dòng)有：$d=v_0^{\;}t$…⑥$\fracmca0sk0{2}=\frac{1}{2}a{t^2}$…⑦
由③⑤⑥⑦得：${v_0}=\sqrt{2gd}$…⑧
（3）要使帶電微粒能從兩板射出，設(shè)它在豎直方向運(yùn)動(dòng)的加速度為a₁、時(shí)間為t₁，
應(yīng)有：$\fract78uagd{2}＞\frac{1}{2}{a_1}t_1^2$…⑨${t_1}=\frac{4d}{v_0}$…⑩由⑧⑨⑩得：${a_1}＜\frac{g}{8}$…⑪
（i）若a₁的方向向上，設(shè)ab桿運(yùn)動(dòng)速度為v₁，
兩板電壓為：U₁=$\frac{1}{3}BL{v_1}$…⑫又有：$\frac{{q{U_1}}}nribuc1-mg=m{a_1}$…⑬
⑪⑫⑬得：${v_1}＜\frac{27mgd}{8qBL}$…⑭
（ii）若a₁的方向向下，設(shè)ab桿運(yùn)動(dòng)速度為v₂，
兩板電壓為：U₂=$\frac{1}{3}BL{v_2}$…⑮又有：$mg-\frac{{q{U_2}}}b8on6eo=m{a_1}$…⑯
⑪⑮⑯得：${v_2}＞\frac{21mgd}{8qBL}$…⑰
所以：ab桿向左勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度的大小范圍為：$\frac{21mgd}{8qBL}＜v＜\frac{27mgd}{8qBL}$…⑱；
答：（1）ab桿勻速運(yùn)動(dòng)的速度大小v是$\frac{3mgd}{qBL}$；
（2）求微粒水平射入兩板時(shí)的速度大小v₀為$\sqrt{2gd}$；
（3）如果以v₀沿中心線射入的上述微粒能夠從兩板間射出，ab桿向左勻速運(yùn)動(dòng)的速度范圍：$\frac{21mgd}{8qBL}＜v＜\frac{27mgd}{8qBL}$．

點(diǎn)評(píng) 電磁感應(yīng)問題結(jié)合閉合電路歐姆定律，涉及帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)算量較大，有一定難度．