Question

10．水平臺面上固定一傾角為37°的斜面ABC，A為斜面的底端點(diǎn)，C為頂端點(diǎn)，AB部分光滑，長度s_AB=1.0m；BC部分粗糙，長度s_BC=2.0m．在斜面頂端C處固定一質(zhì)量不計(jì)的光滑定滑輪，一根細(xì)繩繞過滑輪，左端系在A處質(zhì)量m=1.0kg的滑塊P（可視為質(zhì)點(diǎn)）上，右側(cè)豎直部分穿上質(zhì)量M=1.0kg的物塊Q．已知P與BC部分的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.7，當(dāng)繩中張力超過9.6N時(shí)物塊Q與繩間就會(huì)出現(xiàn)相對滑動(dòng)，且繩與Q間的摩擦力恒為F=9.6N．開始時(shí)，P、Q均靜止，繩處于伸直狀態(tài)．現(xiàn)同時(shí)釋放P和Q，已知在P上滑過程中Q不會(huì)從繩上滑脫也不會(huì)落地，取g=10m/s²，試分析：（sin37°=0.6）
（1）P從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過程中，P、Q與地球組成的系統(tǒng)的機(jī)械能減少了多少？
（2）僅增大Q的質(zhì)量，試通過計(jì)算說明P能否到達(dá)C點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）對開始時(shí)的PQ進(jìn)行受力分析，由牛頓第二定律求出共同的加速度，由位移速度公式求出P到達(dá)B點(diǎn)的速度；到達(dá)B點(diǎn)后，先對B進(jìn)行受力分析，求出B對繩子的拉力，與9.6N比較，判斷出Q與繩子之間是否由相對滑動(dòng)．然后將受力分析與運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式相結(jié)合，分別求出P與Q的位移，最后由功能關(guān)系即可求出；
（2）當(dāng)繩子的張力最大時(shí)，對B的拉力最大，由此求出B向上的最大加速度，然后由位移速度公式求出P到達(dá)B的速度，最后由位移速度公式即可求出P的位移，判定P能否到達(dá)C點(diǎn)．

解答 解：（1）設(shè)釋放PQ時(shí)，繩子中的張力為T，兩個(gè)物體的加速度是a，P到達(dá)B點(diǎn)的速度為v_B，則：
Mg-T=Ma
T-mgsinθ=ma
${v}_{B}^{2}=2a{s}_{AB}$
聯(lián)立解得：a=2.0m/s²，v_B=2m/s
P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)后，mgsinθ+μmgcosθ=1.0×10×sin37°+0.7×1.0×10×cos37°=11.6N＞F
故Q與繩子之間存在滑動(dòng)．設(shè)P到達(dá)的最高點(diǎn)為D，滑塊從B到D的過程中，P做減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)該過程中二者的加速度分別為a₁和a₂，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，P滑動(dòng)的距離為s_BD，Q滑動(dòng)的距離為s，則：F-mgsinθ-μmgcosθ=ma₁
解得：${a}_{1}=-2.0m/{s}^{2}$
又：$0-{v}_{B}^{2}=2{a}_{1}{s}_{BD}$
0-v_B=a₁t
聯(lián)立解得：t=1.0s，s_BD=1.0m＜$\overline{BC}$，可知P不能到達(dá)C點(diǎn)
對Q：Mg-F=Ma₂
代入數(shù)據(jù)得：a₂=0.4m/s²
Q的位移：s=${v}_{B}t+\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：s=2.2m
P與Q組成的系統(tǒng)減小的機(jī)械能：△E=μmgcosθ•s_BD+F•（s-s_BD）
代入數(shù)據(jù)得：Q=17.12J
（2）隨Q質(zhì)量的增大，剛釋放時(shí)P與Q的加速度就增大，繩子的拉力也增大，當(dāng)Q的質(zhì)量大于一定的數(shù)值時(shí)，繩子上的拉力保持最大9.6N，設(shè)釋放時(shí)，P的最大加速度為a_max，P到達(dá)B的最大速度為v_max，P在BC段滑行的最大距離為s_m，則：
F-mgsinθ=ma_max
${v}_{max}^{2}=2{a}_{max}•{s}_{AB}$
在B點(diǎn)以上：$-{v}_{max}^{2}=2{a}_{1}{s}_{m}$
聯(lián)立以上方程可得：s_m=1.8m＜$\overline{BC}$
所以B不能到達(dá)P點(diǎn)．
答：（1）P從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過程中，P、Q與地球組成的系統(tǒng)的機(jī)械能減少了17.12J；
（2）僅增大Q的質(zhì)量，通過計(jì)算可知P不能到達(dá)C點(diǎn)．

點(diǎn)評 該題考查牛頓運(yùn)動(dòng)定律的綜合應(yīng)用與功能關(guān)系，屬于兩個(gè)物體多過程的運(yùn)動(dòng)情況，在解答的過程中要理清各物體在個(gè)階段的受力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)和受力選擇合適的公式．