Question

10．水平臺面上固定一傾角為37°的斜面ABC，A為斜面的底端點，C為頂端點，AB部分光滑，長度s_AB=1.0m；BC部分粗糙，長度s_BC=2.0m．在斜面頂端C處固定一質量不計的光滑定滑輪，一根細繩繞過滑輪，左端系在A處質量m=1.0kg的滑塊P（可視為質點）上，右側豎直部分穿上質量M=1.0kg的物塊Q．已知P與BC部分的動摩擦因數(shù)μ=0.7，當繩中張力超過9.6N時物塊Q與繩間就會出現(xiàn)相對滑動，且繩與Q間的摩擦力恒為F=9.6N．開始時，P、Q均靜止，繩處于伸直狀態(tài)．現(xiàn)同時釋放P和Q，已知在P上滑過程中Q不會從繩上滑脫也不會落地，取g=10m/s²，試分析：（sin37°=0.6）
（1）P從A點運動到最高點的過程中，P、Q與地球組成的系統(tǒng)的機械能減少了多少？
（2）僅增大Q的質量，試通過計算說明P能否到達C點．

Answer 1

分析 （1）對開始時的PQ進行受力分析，由牛頓第二定律求出共同的加速度，由位移速度公式求出P到達B點的速度；到達B點后，先對B進行受力分析，求出B對繩子的拉力，與9.6N比較，判斷出Q與繩子之間是否由相對滑動．然后將受力分析與運動學的公式相結合，分別求出P與Q的位移，最后由功能關系即可求出；
（2）當繩子的張力最大時，對B的拉力最大，由此求出B向上的最大加速度，然后由位移速度公式求出P到達B的速度，最后由位移速度公式即可求出P的位移，判定P能否到達C點．

解答 解：（1）設釋放PQ時，繩子中的張力為T，兩個物體的加速度是a，P到達B點的速度為v_B，則：
Mg-T=Ma
T-mgsinθ=ma
${v}_{B}^{2}=2a{s}_{AB}$
聯(lián)立解得：a=2.0m/s²，v_B=2m/s
P到達B點時后，mgsinθ+μmgcosθ=1.0×10×sin37°+0.7×1.0×10×cos37°=11.6N＞F
故Q與繩子之間存在滑動．設P到達的最高點為D，滑塊從B到D的過程中，P做減速運動，設該過程中二者的加速度分別為a₁和a₂，運動的時間為t，P滑動的距離為s_BD，Q滑動的距離為s，則：F-mgsinθ-μmgcosθ=ma₁
解得：${a}_{1}=-2.0m/{s}^{2}$
又：$0-{v}_{B}^{2}=2{a}_{1}{s}_{BD}$
0-v_B=a₁t
聯(lián)立解得：t=1.0s，s_BD=1.0m＜$\overline{BC}$，可知P不能到達C點
對Q：Mg-F=Ma₂
代入數(shù)據(jù)得：a₂=0.4m/s²
Q的位移：s=${v}_{B}t+\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：s=2.2m
P與Q組成的系統(tǒng)減小的機械能：△E=μmgcosθ•s_BD+F•（s-s_BD）
代入數(shù)據(jù)得：Q=17.12J
（2）隨Q質量的增大，剛釋放時P與Q的加速度就增大，繩子的拉力也增大，當Q的質量大于一定的數(shù)值時，繩子上的拉力保持最大9.6N，設釋放時，P的最大加速度為a_max，P到達B的最大速度為v_max，P在BC段滑行的最大距離為s_m，則：
F-mgsinθ=ma_max
${v}_{max}^{2}=2{a}_{max}•{s}_{AB}$
在B點以上：$-{v}_{max}^{2}=2{a}_{1}{s}_{m}$
聯(lián)立以上方程可得：s_m=1.8m＜$\overline{BC}$
所以B不能到達P點．
答：（1）P從A點運動到最高點的過程中，P、Q與地球組成的系統(tǒng)的機械能減少了17.12J；
（2）僅增大Q的質量，通過計算可知P不能到達C點．

點評 該題考查牛頓運動定律的綜合應用與功能關系，屬于兩個物體多過程的運動情況，在解答的過程中要理清各物體在個階段的受力與運動的關系，再根據(jù)運動和受力選擇合適的公式．