Question

10．開普勒行星運動第三定律指出：行星繞太陽運動的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方成正比，即$\frac{{a}^{3}}{{T}^{2}}$=k，k是一個對所有行星都相同的常量．
（1）將行星繞太陽的運動按圓周運動處理，請你推導(dǎo)出太陽系該常量k的表達(dá)式．已知引力常量為G，太陽的質(zhì)量為M_太．
（2）開普勒定律不僅適用于太陽系，它對一切具有中心天體的引力系統(tǒng)（如地月系統(tǒng)）都成立．經(jīng)測定月地距離為3.84×10⁸m，月球繞地球運動的周期為2.36×10⁶s，試計算地球的質(zhì)M_地．（G=6.67×10 ^-11N•m²/kg²，結(jié)果保留一位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力，以及開普勒第三定律求出太陽系中常量k的表達(dá)式．
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合軌道半徑和周期求出地球的質(zhì)量．

解答 解：（1）將行星繞太陽的運動按圓周運動處理，則軌道半徑r=a，
即k=$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$，
根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得，$G\frac{{M}_{太}m}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得k=$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{G{M}_{太}}{4{π}^{2}}$．
（2）根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得，
$G\frac{{M}_{地}m}{{{r}_{月}}^{2}}=m{r}_{月}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{月}}^{2}}$，
代入數(shù)據(jù)解得M_地=6×10²⁴kg．
答：（1）太陽系該常量k的表達(dá)式k=$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$，
（2）地球的質(zhì)量為6×10²⁴kg．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，并能靈活運用，注意運用該理論求解天體質(zhì)量只能求解中心天體的質(zhì)量，并能求解環(huán)繞天體的質(zhì)量．