Question

7．假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體．已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g₀；在赤道的大小為g；地球自轉(zhuǎn)的周期為T；引力常量為G．則（　　）

• A． 地球的半徑R=$\frac{{{（g}_{0}-g）T}^{2}}{4{π}^{2}}$
• B． 地球的半徑R=$\frac{{{g}_{0}T}^{2}}{{4π}^{2}}$
• C． 地球的第一宇宙速度為$\frac{T}{2π}\sqrt{{g}_{0}{（g}_{0}-g）}$
• D． 地球的第一宇宙速度為 $\frac{T}{2π\(zhòng)sqrt{g{（g}_{0}-g）}}$

Answer 1

分析 質(zhì)量為m的物體在兩極所受地球的引力等于其所受的重力．根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律，在赤道的物體所受地球的引力等于其在兩極所受的重力聯(lián)立求半徑，再由第一宇宙速度為v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，即可求解．

解答 解：AB、在兩極地區(qū)，物體受到地球的萬有引力，其大小為mg₀，在赤道處，地球?qū)ξ矬w的萬有引力大小仍為mg₀，
萬有引力和重力的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有即有：
m（g₀-g）=m$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
解得：R=$\frac{（{g}_{0}-g）{T}^{2}}{4{π}^{2}}$，故A正確，B錯(cuò)誤；
CD、質(zhì)量為m的物體在兩極所受地球的引力等于其所受的重力，有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg₀，
解得：M=$\frac{{g}_{0}（{g}_{0}-g）^{2}{T}^{4}}{16{π}^{4}G}$
那么地球的第一宇宙速度為v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\frac{T}{2π}\sqrt{{g}_{0}{（g}_{0}-g）}$，故C正確，D錯(cuò)誤；
故選：AC．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是認(rèn)識(shí)到在赤道處的重力實(shí)為地球?qū)ξ矬w的萬有引力減去物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力，掌握力的關(guān)系是正確解題的前提．