Question

4．（1）如圖所示，的一端滑塊與長木板靜放在水平面上，已知它們間的摩擦因數(shù)為μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，現(xiàn)將板緩慢抬高，試問板與水平面間夾角φ在多大范圍內(nèi)變化，可使木塊與板始終保持相對靜止？
（2）現(xiàn)將木板傾斜角調(diào)整為$\frac{π}{9}$（rad），滑塊以3m/s的初速度沿木板向上運(yùn)動(dòng)，求滑塊在木板上運(yùn)動(dòng)的平均速度$\overline{v}$（g=10m/s²）
（3）調(diào)整木板傾斜角φ，可改變滑塊沿木板向上滑動(dòng)的運(yùn)動(dòng)位移和時(shí)間，當(dāng)同樣的滑塊仍以3m/s的初速度沖上木板，求滑塊在向上滑行階段中出現(xiàn)最短運(yùn)動(dòng)時(shí)間所需的傾角大小及最短時(shí)間t_min值．（g=10m/s²）

Answer 1

分析 （1）滑塊的重力沿斜面向下的分力小于等于最大靜摩擦力時(shí)木塊與板始終保持相對靜止，由此列式求解．
（2）由木板的傾角可判斷出滑塊沖上木板后最終靜止在板上，做向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，由公式$\overline{v}$=$\frac{{v}_{0}+v}{2}$求解．
（3）根據(jù)能量守恒定律列式，得到滑塊上滑的位移與木板傾角的關(guān)系式，由數(shù)學(xué)知識(shí)求出最短位移，再求對應(yīng)的時(shí)間．

解答 解：（1）滑塊與木板相對靜止時(shí)應(yīng)滿足：
  mgsinφ≤F_max=μmgcosφ
得 0≤tanφ≤μ             
將μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$代入得 0≤φ≤$\frac{π}{6}$　　　　　　　　　
（2）由于μ=tan$\frac{π}{6}$≥tan$\frac{π}{9}$
或 mgsinθ≤μmgcosθ
所以滑塊沖上木板后最終靜止在板上　
  $\overline{v}$=$\frac{{v}_{0}+v}{2}$=$\frac{3+0}{2}$=1.5m/s　　
（3）由能量守恒得
  $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=mgsinθ•x+μmgcosθ•x
得 x=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g（sinθ+μcosθ）}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g\sqrt{1+{μ}^{2}}sin（θ+φ{(diào)\;}_{0}）}$
當(dāng) θ=$\frac{π}{2}$-φ₀=$\frac{π}{3}$時(shí)，x最短，x的最小值為 x_min=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g\sqrt{1+{μ}^{2}}}$
滑塊最終停留在板上
則最短時(shí)間 t_min=$\frac{{x}_{min}^{\;}}{\overline{v}}$=$\frac{{v}_{0}}{g\sqrt{1+{μ}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{20}$s≈0.26s
答：
（1）板與水平面間夾角φ在0≤φ≤$\frac{π}{6}$的范圍內(nèi)變化，可使木塊與板始終保持相對靜止．
（2）滑塊在木板上運(yùn)動(dòng)的平均速度$\overline{v}$是1.5m/s．
（3）滑塊在向上滑行階段中出現(xiàn)最短運(yùn)動(dòng)時(shí)間所需的傾角大小是$\frac{π}{3}$，最短時(shí)間t_min值是0.26s．

點(diǎn)評(píng) 本題要掌握物體不滑動(dòng)的條件：使物體產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)趨勢的外力不大于最大靜摩擦力．知道涉及力在空間的效應(yīng)時(shí)優(yōu)先考慮動(dòng)能定理，會(huì)運(yùn)用函數(shù)法求解極值．