Question

2．如圖所示，半徑為R的$\frac{3}{4}$圓軌道固定在豎直平面內(nèi)，O為圓軌道的圓心，D為圓軌道的最高點(diǎn)，圓軌道內(nèi)壁光滑，圓軌道右側(cè)的平面BC與圓心O等高．質(zhì)量為m的小球從離B點(diǎn)高度為h處的A點(diǎn)由靜止開始下落，從B點(diǎn)進(jìn)入圓軌道，小球能通過圓軌道的最高點(diǎn)，并且在最高點(diǎn)對(duì)軌道的壓力不超過3mg．求：
（1）高度h應(yīng)滿足的條件；
（2）通過計(jì)算說(shuō)明小球從D點(diǎn)飛出后能否落在平面BC上．并求落點(diǎn)與B點(diǎn)水平距離的范圍．

Answer 1

分析 （1）小球恰好通過D點(diǎn)的臨界情況是重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出D點(diǎn)的最小速度，從而求出h的最小高度．當(dāng)球?qū)�D的壓力達(dá)到最大，速度達(dá)到最大，由第二定律求出球通過最高點(diǎn)時(shí)的最大速度，由機(jī)械能守恒求出h的最大值，即可得到h的范圍．
（2）根據(jù)D點(diǎn)的最小速度，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出落地的最小水平位移，根據(jù)D點(diǎn)的最大速度，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出最大的水平位移，從而得出落點(diǎn)與B點(diǎn)水平距離的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)小球剛好通過最高點(diǎn)時(shí)重力提供向心力，設(shè)此時(shí)小球的速度為v₁．則應(yīng)有：
 mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得v₁=$\sqrt{gR}$
由題設(shè)條件可得此時(shí)對(duì)應(yīng)的AB間最小高度h為
h₁=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2g}$+R=$\frac{3}{2}$R．
因?yàn)樽罡唿c(diǎn)的壓力不超過3mg，設(shè)球通過最高點(diǎn)的最大速度為v₂．
則有：mg+3mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
解得 v₂=2$\sqrt{gR}$．
則h的最大值為 h₂=$\frac{{v}_{2}^{2}}{2g}$+R=3R．
所以 $\frac{3}{2}$R≤h≤3R．
（2）由（1）知在最高點(diǎn)D速度最小為v₁=$\sqrt{gR}$
小球飛離D后做平拋運(yùn)動(dòng)，有：
 R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
所以水平位移最小為 x_min=v₁t=$\sqrt{2}$R＞R，故能落在水平面BC上．
在最高點(diǎn)D速度最大為v₂=2$\sqrt{gR}$
平拋運(yùn)動(dòng)的最大水平位移為 x_max=v₂t=2$\sqrt{2}$R
故落點(diǎn)與B點(diǎn)水平距離的范圍為（$\sqrt{2}$-1）R≤d≤（2$\sqrt{2}$-1）R．
答：
（1）高度h應(yīng)滿足的條件為 $\frac{3}{2}$R≤h≤3R．
（2）落點(diǎn)與B點(diǎn)水平距離的范圍為（$\sqrt{2}$-1）R≤d≤（2$\sqrt{2}$-1）R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以及圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源是解決本題的關(guān)鍵．